Question

（2008•宜昌）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O（0，0），A（0，n），C（m，0）．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数，m＞1，n＞0．
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y=ax²+bx+c的顶点，且在双曲线y=上时，求这时四边形OABC的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题要根据图2的分段函数进行求解．当0＜z≤2时，P在OA上运动，因此S=OC•z=mz．当2＜z≤3时，P在AB上运动，因此S=OC•OA=mn．由此可得出当P从A运动到B时，S=mn=m，因此n=2．而z的值是由2逐渐增大到3因此AB=1，因此B点的坐标应该是（1，2）．
（2）求四边形OABC的面积，关键是确定m的值．（由于P不可能与O，D重合）可分三种情况进行讨论：
①当P在OA上时，此时P，O，C不可能构成抛物线．因此这种情况不成立．
②当P在AB上时，可先根据O，C的坐标来列出抛物线的解析式．此时P的纵坐标为2，然后可根据抛物线的解析式表示出P的横坐标，然后将得出的P的坐标代入双曲线中即可得出m的值．
③当P在BC上时，也要先得出P点的纵坐标，具体思路是过B，P作x轴的垂线，通过相似三角形来求出P点的纵坐标，然后按①的方法求出m的值．
综合上述的情况即可得出m的值，也就能确定OC的长，即可求出梯形OABC的面积．
解答：解：（1）从图1中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S=mz，z由0逐步增大到2，则S由0逐步增大到m，
故OA=2，n=2．
同理，AB=1，故点B的坐标是（1，2）．

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O（0，0），C（m，0）
∴c=0，b=-am，
∴抛物线为y=ax²-amx，顶点坐标P为（，-am²）．
∵m＞1，
∴＞0，且≠m，
∴P不在边OA上且不与C重合．
∵P在双曲线y=上，
∴×（-am²）==-．
①当1＜m≤2时，＜≤1，如图2，分别过B，P作x轴的垂线，
M，N为垂足，此时点P在线段AB上，且纵坐标为2，
∴-am²=2，即a=-．
又∵a=-，
∴-=-，m=＞2，而1＜m≤2，不合题意，舍去．
②当m≥2时，＞1，如图3，分别过B，P作x轴的垂线，M，N为垂足，ON＞OM，
此时点P在线段CB上，易证Rt△BMC∽Rt△PNC，
∴BM：PN=MC：NC，即2：PN=（m-1）：，
∴PN=
而P的纵坐标为-am²，
∴=-am²，即a=．
而a=-，
∴-=化简得：5m²-22m+22=0．
解得：m=，
但m≥2，所以m=舍去，
取m=．
由以上，这时四边形OABC的面积为：
（AB+OC）×OA=（1+m）×2=．
点评：本题着重考查了二次函数以及反比例函数的相关知识、三角形相似等知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．