Question

【题目】如图1在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知抛物线y=a（x+1）（x﹣3）与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且∠ABC=45°．

（1）求a的值；
（2）如图2，点D在线段BC上（不与C重合），当AD=AC时，求D点坐标；

（3）如图3，在（2）的条件下，E为抛物线上一点，且在第一象限，过E作EF∥AD与AC相交于点F，当EF被BC平分时，求点E坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：抛物线y=a（x+1）（x﹣3），

令y=0，则有a（x+1）（x﹣3）=0，

解得：x=﹣1，或x=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵∠ABC=45°，∠BOC=90°，

∴OB=OC=3，

∴C（0，3），

将点C（0，3）代入二次函数解析式得：

3=a×（0+1）×（0﹣3），

解得：a=﹣1

（2）

解：∵点A（﹣1，0），点C（0，3），点B（3，0），

∴AC= ，

又∵∠ABC=45°，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，

设点D的坐标为（m，﹣m+3），

由两点间的距离公式可知：AD= ，

∵AD=AC= ，

∴有 = ，

解得：m=0（舍去），m=2，

此时﹣m+3=﹣2+3=1．

故当AD=AC时，D点坐标为（2，1）

（3）

解：设直线AD的解析式为y=kx+b，

将A（﹣1，0），D（2，1）代入，得

，解得 ．

∴直线AD的解析式为y= x+ ．

∵EF∥AD，

∴设直线EF的解析式为y= x+c．

令﹣x+3= x+c，则有x= （3﹣c）．

将y= x+c代入y=﹣1（x+1）（x﹣3）中，得

﹣（3﹣c）=0，

由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣ = ．

∵EF被BC平分，

∴EF与BC的交点的横坐标为 ，

即 （3﹣c）×2= ，解得：c= ．

解方程 ﹣（3﹣ ）=0，得：x1= ，x2= ．

∵点E在第一象限，

∴点E的横坐标为 ．

将x= 代入y= x+ 中得，y= ．

∴点E的坐标为（ ， ）

【解析】（1）通过抛物线解析式求出点AB坐标，利用等腰直角三角形性质求出C点坐标，代入抛物线即可求出a值；（2）由B、C点坐标可得出直线BC的解析式，设出D点坐标（m，﹣m+3），由两点间的距离公式可表示出AD的长度，再由AC=AD找出关于m的一元二次方程，解方程求出m的值，代入到D点坐标中即可得出结论．（3）由A、D点坐标可得出直线AD的解析式，由EF平行AD设出直线EF的解析式，代入到抛物线中可得到关于x的一元二次方程，根据根与系数的关系表示出两根之和，再由直线EF和BC的解析式可找出交点的坐标，根据EF被BC平分，可知交点的横坐标的2倍为前面一元二次方程的两根之和，解方程即可得出直线EF的解析式，从而得出点E的坐标．
【考点精析】通过灵活运用抛物线与坐标轴的交点，掌握一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点．当b2-4ac>0时，图像与x轴有两个交点；当b2-4ac=0时，图像与x轴有一个交点；当b2-4ac<0时，图像与x轴没有交点．即可以解答此题．