Question

【题目】综合与实践：

已知点D为等边△ABC 的边AB所在直线上一动点（点D与点A和点B不重合），连接CD，以CD为边在CD上方作等边△CDE，连接 AE．

操作发现：

（1）如图1，点D在边AB上，则 AE与BD 有怎样的数量关系？ 说明理由；

类比猜想：

（2）如图2，若点D在边BA延长线上，则 AE与BD有怎样的数量关系？ 说明理由；

拓广探究：

（3）如图3，点D在边AB上，以CD为边分别在CD下方和上方作等边△CDF 和等边△CDE，连接 AE，BF，直接写出AE，BF与 AB的数量关系．

Answer 1

【答案】（1），理由详见解析；（2），理由详见解析；（3）．

【解析】

（1）根据等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，再求出，然后利用“边角边”证明△ACE和△BCD全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）证明方法同（1）；
（3）先证明△ACD≌△BCF，所以AD＝BF，由（1）知：AE＝BD，相加可得结论．

解：（1），理由如下：

∵和都是等边三角形，

∴，，．

∴．

即．

在和中，

∴≌（）

∴．

（2），理由如下：

∵和都是等边三角形，

∴，，．

∴．

即．

在和中，

∴≌（）

∴．

（3）．理由是：

∵△ABC和△CDF都是等边三角形，

∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACB＝∠DCF＝60°，

∴∠ACD＝∠BCF，

在△ACD和△BCF中，

∴△ACD≌△BCF（SAS），

∴AD＝BF，

由（1）知：AE＝BD，

∴AB＝BD＋AD＝AE＋BF．