一次反比例函数复习课上.刘老师请同学们设计与图1相关的问题.其中直线l:y=a平行于x轴.分别与y=-$\frac{1}{x}$.y=$\frac{2}{x}$于点M.N．(1)同学甲说.△MON的面积是一个定值.你觉得甲同学说的正确吗?如果正确.直接写出定值,如果不正确.说明理由．(2)同学乙说.当点P在直线y=-1上移动时.△PMN的面积还是一个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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17．一次反比例函数复习课上，刘老师请同学们设计与图1相关的问题，其中直线l：y=a平行于x轴，分别与y=-$\frac{1}{x}$（x＜0），y=$\frac{2}{x}$（x＞0）于点M、N．
（1）同学甲说，△MON的面积是一个定值，你觉得甲同学说的正确吗？如果正确，直接写出定值；如果不正确，说明理由．
（2）同学乙说，当点P在直线y=-1上移动时，△PMN的面积还是一个定值（如图2），你觉得乙同学说的正确吗？如果正确，直接写出定值；如果不正确，说明理由．
（3）同学丙说，当点P是x轴上的一点时，则∠MPN可能是一个直角（如图3），当a满足什么条件时，∠MPN有可能是一个直角？（写出必要的解答过程）

分析（1）设直线l与y轴交于点C，分别过点M、N做MA⊥X轴于点A，MB⊥x轴于点B，即可得到矩形MAOC，矩形NBOC，利用矩形的性质及反比例函数中k的几何意义可求得△MON的面积为（|-1|+|2|）÷2=$\frac{3}{2}$，即可得解；（2）由直线l：y=a，可知点M与点N的纵坐标为a，然后表示出其横坐标，从而求得线段MN的长度，因为y=a平行于x轴，直线y=-1平行于x轴，故可求得MN上的高的长度，从而可得△PMN的面积，即可解答；（3）设以MN为直径的圆圆心为点E，过点E做x轴的垂线段，垂足为F，当圆E与x轴有交点时，∠MPN有可能是一个直角，因此利用直线与圆的位置关系，即可得到答案．

解答解：（1）甲同学说的正确，△MON的面积是$\frac{3}{2}$，
理由：如图1，设直线l与y轴交于点C，分别过点M、N做MA⊥X轴于点A，NB⊥轴
∴四边形MAOC是矩形，四边形NBOC是矩形
∴S_△MAO=S_△MCO=$\frac{1}{2}$，S_△NBO=S_△NCO=1，
∴△MON的面积=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$；
（2）乙同学说的正确，△PMN的面积为$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2a}$
理由：如图2，∵点M、N在直线y=a上，
∴点M的纵坐标为a，点N的纵坐标为a，
∴点M的坐标为（-$\frac{1}{a}$，a），点N的坐标为（$\frac{2}{a}$，a）
∴线段MN的长度为$\frac{3}{a}$
∵y=a平行于x轴，直线y=-1平行于x轴，
∴边MN上的高为a+1，
∴△PMN的面积=$\frac{\frac{3}{a}×（a+1）}{2}$=$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{2a}$；
（3）如图3，设以MN为直径的圆圆心为点E，过点E做EF⊥x轴，垂足为F，
∵点P是x轴上的一点，
∴当圆E与x轴有交点时，∠MPN有可能是一个直角，
由（2）知线段MN的长度为$\frac{3}{a}$，
∴圆E的半径为$\frac{3}{2a}$，
∵y=a平行于x轴，EF⊥x轴，
∴EF=a，
∴当EF≤r时，圆E与x轴有交点，
∵直线l在x轴的上方，
∴0＜a≤$\frac{3}{2a}$，
即0＜a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
所以当a满足0＜a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，∠MPN有可能是一个直角．

点评本题主要考查反比例函数的系数k的几何意义，函数上点的坐标，三角形的面积及直线与圆的位置关系，熟练掌握所学知识，及找到解题的方法是关键．

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