Question

销售甲、乙两种商品所得利润分别为y₁（万元）和y₂（万元），它们与投入资金u的关系式分别为y₁=

3

5

u

，y₂=

1

5

u．如果将3万元资金投入经营甲、乙两种商品，其中对甲商品的投资为x（万元）．
（1）求经营甲、乙两种商品的总利润y（万元）与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（2）经营甲、乙两种商品各投入多少万元时才能使得总利润最大．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）对甲种商品投资x（万元），对乙种商品投资（3-x）（万元），根据利润函数为y=甲商品所得的利润+乙商品所得的利润，可得甲、乙两种商品的总利润y（万元）关于x的函数表达式；
（2）若设t=x

x

，则0≤t≤2；所以，函数y=-

1

5

t²+

3

5

t+

4

5

，其中t∈[0，2]；由二次函数的性质，得函数的最大值以及对应的t，x值．

解答：解：（1）由已知y₁=

3

5

x

，y₂=

1

5

（3-x），
∴y=y₁+y₂=

3

5

x

+

1

5

（3-x），
自变量x的取值范围为：0≤x≤3；

（2）令t=x，其中0≤t≤2；则 
y=-

1

5

t2+

3

5

t+

4

5

=-

1

5

（t-

3

2

）2+

5

4

，t∈[0，2]； 
由二次函数的性质得，当t=

3

2

时，函数有最大值y_max=

5

4

，此时x=

9

4

； 
所以，对甲投资

9

4

万元，对乙投资

7

4

万元时，获得最大总利润，为

5

4

万元．

点评：本题考查了函数模型的构建以及配方法求函数的最值，体现用数学知识解决实际问题，属于基础题．