Question

13．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M是边BC的中点，DE⊥AM，垂足为E．
求：（1）线段DE的长；（2）∠ADE的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由矩形ABCD中，AB=4，BC=6，M为BC的中点，由勾股定理可求得AM的长，又由DE⊥AM，易证得△ADE∽△MAB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得DE的长．
（2）由锐角三角函数的定义解答即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，∠DAE=∠AMB，
∵DE⊥AM，
∴∠ADE=∠B=90°，
∴△ADE∽△MAB，
∵M 是BC中点，BC=6，
∴BM=3，
根据勾股定理得AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵△ADE∽△MAB，
∴DE：AB=AD：AM，
即DE：4=6：5，
∴DE=$\frac{24}{5}$；
（2）在Rt△ADE中，DE=$\frac{24}{5}$，AD=6
∴cos∠ADE=$\frac{DE}{AD}$=$\frac{\frac{24}{5}}{6}$=$\frac{4}{5}$．
或者：cos∠ADE=cos∠BAM=$\frac{AB}{AM}$=$\frac{4}{5}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．