Question

6．已知：平行四边形ABCD的两边AB、AD的长是关于x的方程x²-mx+$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$=0的两个实数根．
（1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长；
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质可得出AB=AD，根据根的判别式△=0即可求出m的值，将其代入原方程，解方程即可求出菱形的边长；
（2）将x=2代入原方程求出m的值，再将m的值代入原方程，解方程即可求出平行四边形的临边，结合平行四边形的周长即可得出结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵△=m²-4×（$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$）=m²-2m+1=（m-1）²=0，
∴当（m-1）²=0时，即m=1时，四边形ABCD是菱形．
把m=1代入x²-mx+$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$=0中，得：x²-x+$\frac{1}{4}$=0，
解得：x₁=x₂=$\frac{1}{2}$，
∴菱形ABCD的边长是$\frac{1}{2}$．
（2）把x=2代入x²-mx+$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$=0中，得：4-2m+$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$=0，
解得：m=$\frac{5}{2}$，
把m=$\frac{5}{2}$代入x²-mx+$\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$=0中，得：x²-$\frac{5}{2}$x+1=0，
解得：x₁=2，x₂=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{1}{2}$．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD的周长是5．

点评 本题考查了根的判别式、平行四边形的性质以及菱形的判定与性质，根据菱形的性质（或一元二次方程的解）求出m的值是解题的关键．