Question

20、已知关于x的方程x²+2（a-1）x+a²-7a-b+12=0有两个相等的实数根，且满足2a-b=0．
①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况．
②若将y=x²+2（a-1）x+a²-7a-b+12图象沿对称轴向下移动3个单位，写出顶点坐标和对称轴方程．

Answer 1

分析：①让根的判别式等于0，联立已知条件2a-b=0，可得a，b的值，根据根与系数中的关系可判断出两根的正负；
②易得原抛物线的顶点，让横坐标不变，纵坐标减3即为新的顶点坐标，对称轴为直线x=顶点的横坐标．

解答：①解：由△=4（a²-3）²-4（a²-7a-b+12）=0得：a+b-3=0，
又2a-b=0，
∴a=1，b=2．
设这个方程的解为x₁、x₂，
则x₁+x₂=-2（a-3）=4＞0，
x₁•x₂=a²-7a-b+12）=4＞0，
∴x₁、x₂均为正根；

②∵a=1，b=2，
∴y=x²+2（a-1）x+a²-7a-b+12可化为：y=x²-4x+4=（x-2）²，
将此图象向下移动3个单位，得：y=（x-2）²-3，
顶点（2，-3），对称轴为x=2．

点评：用到的知识点为：一元二次方程有2个相等的实数根，根的判别式等于0；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．