【题目】如图①抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(3,0),点C三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点D(2,m)在第一象限的抛物线上,连接BC,BD.试问,在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P,满足∠PBC=∠DBC?如果存在,请求出点P点的坐标;如果不存在,请说明理由;
(3)点N在抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点M的坐标.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)存在.理由见解析;(3)M1(﹣2,﹣5),M2(4,﹣5),M3(2,3).
【解析】
(1)由已知,应用待定系数法问题可解;
(2)根据已知条件求出点D的坐标,并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB,利用全等三角形求出点G的坐标,求出直线BP的解析式,联立二次函数解析式,求出点P的坐标.
(3)设出点N坐标,根据平行四边形对角线互相平分的性质,表示点M坐标,代入函数关系式,问题可解.
解:如图:
(1)∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴,y轴分别交于点A(﹣1,0),B(3,0),点C三点.
∴ 解得
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3.
(2)存在.理由如下:
y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4.
∵点D(2,m)在第一象限的抛物线上,
∴m=3,∴D(2,3),
∵C(0,3)
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=45°.
连接CD,∴CD∥x轴,
∴∠DCB=∠OBC=45°,
∴∠DCB=∠OCB,
在y轴上取点G,使CG=CD=2,
再延长BG交抛物线于点P,
在△DCB和△GCB中,
CB=CB,∠DCB=∠OCB,CG=CD,
∴△DCB≌△GCB(SAS)
∴∠DBC=∠GBC.
设直线BP解析式为yBP=kx+b(k≠0),把G(0,1),B(3,0)代入,得
k=﹣,b=1,
∴BP解析式为yBP=﹣x+1.
yBP=﹣x+1,y=﹣x2+2x+3
当y=yBP 时,﹣x+1=﹣x2+2x+3,
解得x1=﹣,x2=3(舍去),
∴y=,
∴P(﹣,).
(3)M1(﹣2,﹣5),M2(4,﹣5),M3(2,3).
设点N坐标为(1span>,n)
当BC、MN为平行四边形对角线时,由BC、MN互相平分,M坐标为(2,3-n)
代入y=﹣x2+2x+3,3-n=﹣22+4+3,n=0;M(2,3)
当BM、NC为平行四边形对角线时,由BM、NC互相平分,M坐标为(-2,3+n)
代入y=﹣x2+2x+3,3+n=﹣4-4+3,n=-8;M(-2,-5)
当MC、BN为平行四边形对角线时,由MC、BN互相平分,M坐标为(4, n-3)
代入y=﹣x2+2x+3,n-3=﹣16+8+3,n=-2;M(4,-5)
故答案为:M1(﹣2,﹣5),M2(4,﹣5),M3(2,3)
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【题目】如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC=6,D为边AB上一动点(不与B点重合),连接CD,将线段CD绕着点D逆时针旋转90°得到DE,连接BE,则S△BDE的最大值为_____.
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【题目】在“测量物体的高度” 活动中,某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度.在同一时刻的阳光下,他们分别做了以下工作:
小芳:测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米,甲树的影长为4米(如图1).
小华:发现乙树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图2),墙壁上的影长为1.2米,落在地面上的影长为2.4米.
小丽:测量的丙树的影子除落在地面上外,还有一部分落在教学楼的第一级台阶上(如图3),测得此影子长为0.3米,一级台阶高为0.3米,落在地面上的影长为4.5米.
(1)在横线上直接填写甲树的高度为 米.
(2)求出乙树的高度.
(3)请选择丙树的高度为( )
A、6.5米 B、5. 5米 C、6.3米 D、4.9米
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【题目】将两块全等的三角板如图①摆放,其中∠A1CB1=∠ACB=90°,∠A1=∠A=30°.
(1)将图①中的△A1B1C顺时针旋转45°得图②,点P1是A1C与AB的交点,点Q是A1B1与BC的交点,求证:CP1=CQ;
(2)在图②中,若AP1=2,则CQ等于多少?
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【题目】国务院办公厅在2015年3月16日发布了《中国足球发展改革总体方案》,这是中国足球史上的重大改革,为进一步普及足球知识,传播足球文化,我市某区在中小学举行了“足球在身边”知识竞赛,各类获奖学生人数的比例情况如图所示,其中获得三等奖的学生共50名,请结合图中信息,解答下列问题:
(1)获得一等奖的学生人数;
(2)在本次知识竞赛活动中,A,B,C,D四所学校表现突出,现决定从这四所学校中随机选取两所学校举行一场足球友谊赛,请用画树状图或列表的方法求恰好选到A,B两所学校的概率.
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【题目】如图,以圆O为圆心,半径为1的弧交坐标轴于A,B两点,P是弧上一点(不与A,B重合),连接OP,设∠POB=α,则点P的坐标是
A. (sinα,sinα) B. (cosα,cosα) C. (cosα,sinα) D. (sinα,cosα)
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【题目】若两个二次函数图象的顶点,开口方向都相同,则称这两个二次函数为“同簇二次函数”.
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数.
(2)已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1,和y2=x2+bx+c,其中y1的图象经过点A(1,1),若y1+y2与y1为“同簇二次函数”,求函数y2的表达式,并求当0≤x≤3时,y2的取值范围.
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【题目】如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置并画出小亮在灯光下形成的影子;
(2)如果小明的身高AB=1.8m,他的影子长AC=1.6m,且他到路灯的距离AD=2.4m,求灯泡的高.
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