Question

【题目】如图①抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．

（1）试求抛物线的解析式；

（2）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC，BD．试问，在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC＝∠DBC？如果存在，请求出点P点的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在．理由见解析；（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．

【解析】

（1）由已知，应用待定系数法问题可解；

（2）根据已知条件求出点D的坐标，并且由线段OC、OB相等、CD∥x轴及等腰三角形性质证明△CDB≌△CGB，利用全等三角形求出点G的坐标，求出直线BP的解析式，联立二次函数解析式，求出点P的坐标．

（3）设出点N坐标，根据平行四边形对角线互相平分的性质，表示点M坐标，代入函数关系式，问题可解.

解：如图：

（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴，y轴分别交于点A（﹣1，0），B（3，0），点C三点．

∴ 解得

∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∵点D（2，m）在第一象限的抛物线上，

∴m＝3，∴D（2，3），

∵C（0，3）

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

连接CD，∴CD∥x轴，

∴∠DCB＝∠OBC＝45°，

∴∠DCB＝∠OCB，

在y轴上取点G，使CG＝CD＝2，

再延长BG交抛物线于点P，

在△DCB和△GCB中，

CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，

∴△DCB≌△GCB（SAS）

∴∠DBC＝∠GBC．

设直线BP解析式为yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得

k＝﹣，b＝1，

∴BP解析式为yBP＝﹣x+1．

yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+2x+3

当y＝yBP 时，﹣x+1＝﹣x2+2x+3，

解得x1＝﹣，x2＝3（舍去），

∴y＝，

∴P（﹣，）．

（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．

设点N坐标为（1span>，n）

当BC、MN为平行四边形对角线时，由BC、MN互相平分，M坐标为（2,3-n）

代入y＝﹣x2+2x+3，3-n=﹣22+4+3，n=0；M（2,3）

当BM、NC为平行四边形对角线时，由BM、NC互相平分，M坐标为（-2,3+n）

代入y＝﹣x2+2x+3，3+n=﹣4-4+3，n=-8；M（-2,-5）

当MC、BN为平行四边形对角线时，由MC、BN互相平分，M坐标为（4, n-3）

代入y＝﹣x2+2x+3，n-3=﹣16+8+3，n=-2；M（4,-5）

故答案为：M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）