Question

在△ABC中，BD、CE为角平分线，P为ED上任意一点．过P分别作AC、AB、BC的垂线，M、N、Q为垂足．求证：PM+PN=PQ．

Answer 1

分析：过点P作AB的平行线交BD于F，过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G，连PG，根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，得到KQ=PN，再根据分线段成比例可得到PG∥EC，因为CE平分∠BCA，所以GP平分∠FGA，即有PK=PM，故可求证PM+PN=PK+KQ=PQ．

解答：证明：如图，过点P作AB的平行线交BD于F，过点F作BC的平行线分别交PQ、AC于K、G，连PG
∵BD平分∠ABC
∴点F到AB、BC两边距离相等
∴KQ=PN
∵

EP

PD

=

BF

FD

=

CG

GD

∴PG∥EC
∵CE平分∠BCA
∴GP平分∠FGA
∴PK=PM
∴PM+PN=PK+KQ=PQ．

点评：此题综合考查角平分线、平行线分线段成比例．这里，通过添加平行线，将PQ“掐开”成两段，证得PM=PK，就有PM+PN=PQ．证法非常简捷．