Question

12．如图，在直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，1），过点A的直线l垂直于线段AB，点P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处．若以A，D，P为顶点的三角形与△ABP相似，则所有满足此条件的点P的坐标为P（5，2），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

Answer 1

分析 求出直线L的解析式，证出△AOB∽△PCA，得出 $\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，设AC=m，则PC=2m，根据△PCA≌△PDA，得出 $\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，当△PAD∽△PBA时，根据 $\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，AB=$\sqrt{5}$，求出AP=2$\sqrt{5}$，m²+（2m）²=（2$\sqrt{5}$）²，得出m=±2，从而求出P点的坐标为（4，4）、（0，-4），若△PAD∽△BPA，得出 $\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，求出PA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，从而得出m²+（2m）²=（ $\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，求出m=±$\frac{1}{2}$，即可得出P点的坐标为（$\frac{5}{2}$，1）、（$\frac{3}{2}$，-1）．

解答 解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，
∴直线L的解析式为；y=2x-8，
∠BAO+∠PAC=90°，
∵PC⊥x轴，
∴∠PAC+∠APC=90°，
∴∠BAO=∠APC，
∵∠AOB=∠ACP，
∴△AOB∽△PCA，
∴$\frac{BO}{CA}$=$\frac{AO}{PC}$，
∴$\frac{BO}{AO}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
设AC=m，则PC=2m，
∵△PCA≌△PDA，
∴AC=AD，PC=PD，
∴$\frac{AD}{PD}$=$\frac{AC}{PC}$=$\frac{1}{2}$，
如图1：当△PAD∽△PBA时，

则 $\frac{AD}{BA}$=$\frac{PD}{PA}$，
则 $\frac{AD}{PD}$=$\frac{BA}{PA}$=$\frac{1}{2}$，
∵AB=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴AP=2$\sqrt{5}$，
∴m²+（2m）²=（2$\sqrt{5}$）²，
∴m=±2，
当m=2时，PC=4，OC=4，P点的坐标为（4，4），
当m=-2时，如图2，

PC=4，OC=0，P点的坐标为（0，-4），
如图3，若△PAD∽△BPA，

则 $\frac{PA}{BA}$=$\frac{AD}{PD}$=$\frac{1}{2}$，
PA=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
则m²+（2m）²=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²，
∴m=±$\frac{1}{2}$，
当m=$\frac{1}{2}$时，PC=1，OC=$\frac{5}{2}$，P点的坐标为（$\frac{5}{2}$，1），
当m=-$\frac{1}{2}$时，如图4，PC=1，OC=$\frac{3}{2}$，P点的坐标为（$\frac{3}{2}$，-1）；

故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，-8），P（3，-2）．

点评 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是相似三角形和全等三角形的判定与性质、勾股定理、一次函数等，关键是根据题意画出图形，注意有四个点．