Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，点D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若∠A=30°，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）连接OE．根据OB=OE得到∠OBE=∠OEB，然后再根据BE是△ABC的角平分线得到∠OEB=∠EBC，从而判定OE∥BC，最后根据∠C=90°得到∠AEO=∠C=90°证得结论AC是⊙O的切线；
（2）连接OF、EF，利用S_阴影部分=S_梯形OECF-S_△OBF求解即可．

解答 （1）证明：连接OE，
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠OBE=∠CBE，
∵OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
∴∠OEA=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
（2）连接OF、EF，
∵∠A=30°，
∴∠AOE=∠ABC=60°，
∴∠EOF=60°，
∴S_扇形EOF=S_扇形OBF，
∵∠EOF=60°，OE=OF，
∴EF=OE=4，
∴FC=2，EC=2$\sqrt{3}$，
S_阴影部分=S_梯形OECF-S_扇形EOF+S_扇形OBF-S_△OBF
=S_梯形OECF-S_△OBF
=S_△ECF
=$\frac{1}{2}$×EC×CF
=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质及扇形面积的计算，解题的关键是连接圆心和切点，利用过切点且垂直于过切点的半径来判定切线．