Question

1．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{\sqrt{3}}{6}$x²-$\frac{11}{4}$x+3$\sqrt{3}$与x轴交于点A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，过点C作CD∥x轴，且交抛物线于点D，连接AD，交y轴于点E，连接AC．
（1）求S_△ABD的值；
（2）如图2，若点P是直线AD下方抛物线上一动点，过点P作PF∥y轴交直线AD于点F，作PG∥AC交直线AD于点G，当△PGF的周长最大时，在线段DE上取一点Q，当PQ+$\frac{3}{5}$QE的值最小时，求此时PQ+$\frac{3}{5}$QE的值；
（3）如图3，M是BC的中点，以CM为斜边作直角△CMN，使CN∥x轴，MN∥y轴，将△CMN沿射线CB平移，记平移后的三角形为△C′M′N′，当点N′落在x轴上即停止运动，将此时的△C′M′N′绕点C′顺时针旋转（旋转度数不超过180°），旋转过程中直线M′N′与直线CA交于点S，与y轴交于点T，与x轴交于点W，请问△CST是否能为等腰三角形？若能，请求出所有符合条件的WN′的长度；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求出A、B、C的坐标，由CD∥AB，推出S_△DAB=S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC，由此即可解决问题；
（2）首先说明PF的值最大时，△PFG的周长最大，由PF=$\frac{3}{4}$m-$\frac{9}{8}$$\sqrt{3}$-（$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²-$\frac{11}{4}$m+3$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\frac{7}{2}$m-$\frac{33}{8}$$\sqrt{3}$，可知当m=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$时，PF的值最大，此时P（$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$），作P关于直线DE的对称点P′，连接P′Q，PQ，作EN∥x轴，QM⊥EN于M，由△QEM∽△EAO，可得$\frac{QM}{QE}$=$\frac{OE}{AE}$=$\frac{3}{5}$，推出QM=$\frac{3}{5}$QE，推出PQ+$\frac{3}{5}$EQ=PQ+QM=P′Q+QM，推出当P′、Q、M共线时，PQ+$\frac{3}{5}$EQ的值最小，想办法求出P′的坐标即可解决问题；
（3）分两种情形①如图3中，当CS=CT时，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G．由tan∠BWN′=tan∠OCK=$\frac{BN′}{WN′}$，构建方程即可解决问题．②如图4中，当TC=TS时，根据tan∠BWN′=tan∠OAC=$\frac{BN′}{WN′}$，构建方程即可解决问题；

解答 解：（1）令y=0，则2$\sqrt{3}$x²-33x+36$\sqrt{3}$=0，
解得x=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$或4$\sqrt{3}$．
∴A（$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0），B（4$\sqrt{3}$，0），C（0，3$\sqrt{3}$），
∵CD∥AB，
∴S_△DAB=S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•OC=$\frac{1}{2}$×$\frac{5\sqrt{3}}{2}$×$3\sqrt{3}$=$\frac{45}{4}$．

（2）如图2中，设P（m，$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²-$\frac{11}{4}$m+3$\sqrt{3}$）．

∵A（$\frac{3}{2}$$\sqrt{3}$，0），D（$\frac{11}{2}\sqrt{3}$，3$\sqrt{3}$），
∴直线AD的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{9}{8}$$\sqrt{3}$，
∵PF∥y轴，
∴F（m，$\frac{3}{4}$m-$\frac{9}{8}$$\sqrt{3}$），
∵PG⊥DE，
∴△PGF的形状是相似的，
∴PF的值最大时，△PFG的周长最大，
∵PF=$\frac{3}{4}$m-$\frac{9}{8}$$\sqrt{3}$-（$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²-$\frac{11}{4}$m+3$\sqrt{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$m²+$\frac{7}{2}$m-$\frac{33}{8}$$\sqrt{3}$，
∴当m=-$\frac{b}{2a}$=$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$时，PF的值最大，此时P（$\frac{7}{2}$$\sqrt{3}$，-$\frac{1}{2}$$\sqrt{3}$），
作P关于直线DE的对称点P′，连接P′Q，PQ，作EN∥x轴，QM⊥EN于M，
∵△QEM∽△EAO，
∴$\frac{QM}{QE}$=$\frac{OE}{AE}$=$\frac{3}{5}$，
∴QM=$\frac{3}{5}$QE，
∴PQ+$\frac{3}{5}$EQ=PQ+QM=P′Q+QM，
∴当P′、Q、M共线时，PQ+$\frac{3}{5}$EQ的值最小，
易知直线PP′的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{25}{6}$$\sqrt{3}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{4}{3}x+\frac{25}{6}\sqrt{3}}\\{y=\frac{3}{4}x-\frac{9}{8}\sqrt{3}}\end{array}\right.$，可得G（$\frac{127}{50}$$\sqrt{3}$，$\frac{39}{50}$$\sqrt{3}$），
∵PG=GP′，
∴P′（$\frac{79}{50}$$\sqrt{3}$，$\frac{103}{50}$$\sqrt{3}$），
∴P′M=$\frac{103}{50}$$\sqrt{3}$+$\frac{9}{8}$$\sqrt{3}$=$\frac{637}{200}$$\sqrt{3}$，
∴PQ+$\frac{3}{5}$EQ的最小值为$\frac{637}{200}$$\sqrt{3}$．

（3）①如图3中，当CS=CT时，作CK平分∠OCA，作KG⊥AC于G．

易知KO=KG，
∵$\frac{{S}_{△COK}}{{S}_{△CAK}}$=$\frac{OK}{KA}$=$\frac{\frac{1}{2}•OC•OK}{\frac{1}{2}•AC•KG}$=$\frac{OC}{AC}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
∴OK=$\frac{2}{2+\sqrt{5}}$•$\frac{3\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{15}$-6$\sqrt{3}$，
易证∠BWN′=∠OCK，
∴tan∠BWN′=tan∠OCK=$\frac{BN′}{WN′}$=$\frac{3\sqrt{15}-6\sqrt{3}}{3\sqrt{3}}$，
∵BN′=2$\sqrt{3}$，
∴WN′=2$\sqrt{15}$+4$\sqrt{3}$．
②如图4中，当TC=TS时，

易证∠BWN′=∠OAC，
∴tan∠BWN′=tan∠OAC=$\frac{BN′}{WN′}$=$\frac{3\sqrt{3}}{\frac{3\sqrt{3}}{2}}$，
∴WN′=$\sqrt{3}$，
综上所述，满足条件的WN′的长为2$\sqrt{15}$+4$\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质、垂线段最短、轴对称变换、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建一次函数解决交点坐标问题，学会利用锐角三角函数构建方程解决问题，属于中考压轴题．