如图,已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A(-2,-1),B(0,7)两点.
(1)求该抛物线的解析式及对称轴;
(2)当x为何值时,y>0?
(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l,与抛物线交于C、D两点(点C在对称轴的左侧),过点C、D作x轴的垂线,垂足分别为F、E.当矩形CDEF为正方形时,求C点的坐标.
解:(1)把A(-2,-1),B(0,7)两点的坐标代入
y=-x2+bx+c,得
,解得.
所以,该抛物线的解析式为y=-x2+2x+7,
又因为y=-x2+2x+7=-(x-1)2+8,所以对称轴为直线x=1.
(2)当函数值y=0时,
-x2+2x+7=0的解为x=1±2 ,
结合图象,容易知道1-2 <x<1+2 时,y>0.
(3)当矩形CDEF为正方形时,设C点的坐标为(m,n),
则n=-m2+2m+7,即CF=-m2+2m+7.
因为C、D两点的纵坐标相等,
所以C、D两点关于对称轴x=1对称,
设点D的横坐标为p,则1-m=p-1,
所以p=2-m,所以CD=(2-m)-m=2-2m.
因为CD=CF,所以2-2m=-m2+2m+7,
整理,得m2-4m-5=0,解得m=-1或5.
因为点C在对称轴的左侧,所以m只能取-1.
当m=-1时,
n=-m2+2m+7=-(-1)2+2×(-1)+7=4.
于是,点C的坐标为(-1,4).
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