Question

某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面内的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向下，以过山脚（点C）的水平线为x轴、过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米），已知AB所在抛物线的解析式为y=-x²+8，BC所在抛物线的解析式为y=（x-8）²，且已知B（m，4）。

（1）设P（x，y）是山坡线AB上任意一点，用y表示x，并求点B的坐标；
（2）从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，这种台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得小于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）。
①分别求出前三级台阶的长度（精确到厘米）；
②这种台阶不能一直铺到山脚，为什么？
（3）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站．索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600（米），假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线，解析式为y=（x-16）²，试求索道的最大悬空高度。

Answer 1

解：（1）∵P（x，y）是山坡线AB上任意一点， ∴ ∴x2=4（8-y）， ∵B（m，4）， ∴ ∴B（4，4）。 （2）在山坡线AB上，，A（0，8） ①令y0=8，得x0=0；令y1=8-0.002=7.998 得 ∴第一级台阶的长度为x1-x0=0.08944（百米）≈894（厘米） 同理，令y2=8-2×0.002、y3=8-3×0.002， 可得x2≈0.12649、x3≈0.15492 ∴第二级台阶的长度为x2-x1=0.03705（百米）≈371（厘米） 第三级台阶的长度为x3-x2=0.02843（百米）≈284（厘米）。 ②取点B（4，4），又取y=4+0.002 则 ∵4-3.99900=0.001＜0.002 ∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚 （3）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0） 由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值 索道在BC上方时 悬空高度 当时，ymax= ∴索道的最大悬空高度为米。