Question

19．二次函数y=ax²+bx+1（a＞1）的图象与x轴两个交点的横坐标分别为x₁，x₂（x₁＜x₂），一元二次方程a²x²+bx+1=0有两个实数根x₃，x₄（x₃＜x₄），则x₁，x₂，x₃，x₄的大小关系是（　　）

• A． x₁＜x₂＜x₃＜x₄
• B． x₁＜x₃＜x₄＜x₂
• C． x₃＜x₁＜x₂＜x₄
• D． x₃＜x₄＜x₁＜x₂

Answer 1

分析 构造两个函数F（x）=f（x）-1，G（x）=g（x）-1，通过它们与x轴的交点，得出它们的根之间的大小 关系，然后通过分类讨论和在同一坐标中作出F（x）和G（x）的图象，然后将两个函数的图象向上平移一个单位，可得x₁，x₂，x₃，x₄的大关系．

解答 解：设函数F（x）=f（x）-1=ax²+bx，G（x）=g（x）-1=a²x²+bx，
则两个函数都经过原点，此外F（x）与x轴的令一交点的横坐标为-$\frac{b}{a}$，G（x）与x轴的令一交点的横坐标为x=-$\frac{b}{{a}^{2}}$，
①∵a＞0，当b＜0时，有0＜-$\frac{b}{{a}^{2}}$＜-$\frac{b}{a}$，
在同一坐标系中作出F（x）和G（x）的图象，
将此两个函数的图象向上平移一个单位可得函数f（x）和g（x）的图象，
∴由图象得：x₁＜x₃＜x₄＜x₂，
②当b＜0时，同理可得：x₁＜x₃＜x₄＜x₂，
综上所述：x₁，x₂，x₃，x₄的大小关系是x₁＜x₃＜x₄＜x₂，
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程的根，二次函数的图象和性质，采用数形结合和分类讨论的数学思想解题是本题的关键所在．