练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，已知：抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=
    1
    2
    x-2，连接AC．
    （1）B、C两点坐标分别为B（
     
    ，
     
    ）、C（
     
    ，
     
    ），抛物线的函数关系式为
     
    ；
    （2）判断△ABC的形状，并说明理由；
    （3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFC（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
    精英家教网
    分析：（1）令x=0以及y=0代入y=
    1
    2
    x-2得出B，C的坐标．把相关坐标代入抛物线可得函数关系式．
    （2）已知AB，AC，BC的值，根据反勾股定理可证明△ABC是直角三角形．
    （3）证明△CGF∽△CAB，利用线段比求出有关线段的值．求出S矩形DEFG的最大值．再根据△ADG∽△AOC的线段比求解．
    解答：解：（1）令x=0，y=-2，
    当y=0代入y=
    1
    2
    x-2得出：x=4，
    故B，C的坐标分别为：
    B（4，0），C（0，-2）．（2分）
    y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x-2．（4分）

    （2）△ABC是直角三角形．（5分）
    证明：令y=0，则
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x-2=0．
    ∴x1=-1，x2=4．
    ∴A（-1，0）．（6分）
    解法一：∵AB=5，AC=
    		5
    ，BC=2
    		5
    ．（7分）
    ∴AC2+BC2=5+20=25=AB2．
    ∴△ABC是直角三角形．（8分）
    解法二：∵AO=1，CO=2，BO=4，
    ∴
    CO
    BO
    =
    AO
    OC
    =
    1
    2

    ∵∠AOC=∠COB=90°，
    ∴△AOC∽△COB．（7分）
    ∴∠ACO=∠CBO．
    ∵∠CBO+∠BCO=90°，
    ∴∠ACO+∠BCO=90度．
    即∠ACB=90度．
    ∴△ABC是直角三角形．（8分）

    （3）能．①当矩形两个顶点在AB上时，如图1，CO交GF于H．精英家教网
    ∵GF∥AB，
    ∴△CGF∽△CAB．
    ∴
    GF
    AB
    =
    CH
    CO
    ．（9分）
    解法一：设GF=x，则DE=x，
    CH=
    2
    5
    x，DG=OH=OC-CH=2-
    2
    5
    x．
    ∴S矩形DEFG=x•（2-
    2
    5
    x）=-
    2
    5
    x2+2x=-
    2
    5
    （x-
    5
    2
    ）2+
    5
    2
    ．（10分）
    当x=
    5
    2
    时，S最大．
    ∴DE=
    5
    2
    ，DG=1．
    ∵△ADG∽△AOC，
    ∴
    AD
    AO
    =
    DG
    OC
    ，
    ∴AD=
    1
    2
    ，
    ∴OD=
    1
    2
    ，OE=2．
    ∴D（-
    1
    2
    ，0），E（2，0）．（11分）
    解法二：设DG=x，则DE=GF=
    10-5x
    2
    ．
    ∴S矩形DEFG=x•
    10-5x
    2
    =-
    5
    2
    x2+5x=-
    5
    2
    （x-1）2+
    5
    2
    ．（10分）
    ∴当x=1时，S最大．
    ∴DG=1，DE=
    5
    2
    ．
    ∵△ADG∽△AOC，
    ∴
    AD
    AO
    =
    DG
    OC
    ，
    ∴AD=
    1
    2
    ，
    ∴OD=
    1
    2
    ，OE=2．
    ∴D（-
    1
    2
    ，0），E（2，0）．（11分）
    ②当矩形一个顶点在AB上时，F与C重合，如图2，
    ∵DG∥BC，
    ∴△AGD∽△ACB．
    ∴
    GD
    BC
    =
    AG
    AF
    ．精英家教网
    解法一：设GD=x，
    ∴AC=
    		5
    ，BC=2
    		5
    ，
    ∴GF=AC-AG=
    		5
    -
    x
    2
    ．
    ∴S矩形DEFG=x•（
    		5
    -
    x
    2
    ）=-
    1
    2
    x2+
    		5
    x
    =-
    1
    2
    （x-
    		5
    ）2+
    5
    2
    ．（12分）
    当x=
    		5
    时，S最大．∴GD=
    		5
    ，AG=
    		5
    2
    ，
    ∴AD=
    		AG2+GD2
    =
    5
    2
    ．
    ∴OD=
    3
    2
    ∴D（
    3
    2
    ，0）（13分）
    解法二：设DE=x，精英家教网
    ∵AC=
    		5
    ，BC=2
    		5
    ，
    ∴GC=x，AG=
    		5
    -x．
    ∴GD=2
    		5
    -2x．
    ∴S矩形DEFG=x•（2
    		5
    -2x）=-2x2+2
    		5
    x=-2（x-
    		5
    2
    ）2+
    5
    2
    （12分）
    ∴当x=
    		5
    2
    时，S最大，
    ∴GD=
    		5
    ，AG=
    		5
    2
    ．
    ∴AD=
    		AG2+GD2
    =
    5
    2
    ．
    ∴OD=
    3
    2

    ∴D（
    3
    2
    ，0）（13分）
    综上所述：当矩形两个顶点在AB上时，坐标分别为（-
    1
    2
    ，0），（2，0）
    当矩形一个顶点在AB上时，坐标为（
    3
    2
    ，0）．（14分）
    点评：本题考查的是二次函数的综合运用以及三角形相似的判定，考生要学会灵活运用二次函数的相关知识．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图1，已知：抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c    与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=
    1
    2
    x-2    ，连接AC．
    （1）写出B、C两点坐标，并求抛物线的解析式；
    （2）判断△ABC的形状，并说明理由；
    （3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
    {抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标是(-
    b
    2a
    ，
    4ac-b2
    4a
    )    }．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知：抛物线y=
    1
    2
    x2+bx+c    与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，经过B、C两点的直线是y=
    1
    2
    x-2    ，连接AC．
    （1）B、C两点坐标分别为B
    （4，0）
    （4，0）
    、C
    （0，-2）
    （0，-2）
    ，抛物线的函数关系式为
    y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x-2
    y=
    1
    2
    x2-
    3
    2
    x-2
    ；
    （2）求证：△AOC∽△COB；
    （3）在该抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PAC的周长最小？若存在，请求出来，若不存在，请说明理由．
    （4）在该抛物线上是否存在点Q，使得S△ABC=S△ABQ？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图1，已知：抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，对称轴x=1与x轴交于点E，A（-1，0）．
    （1）求抛物线的函数解析式；
    （2）在对称轴上是否存在点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；
    （3）在对称轴上找点Q，使点Q到A、C两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．
    精英家教网精英家教网

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源：期末题 题型：解答题

    如图1，已知：抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，经过B，C两点的直线是，连结AC．
    （1）写出B，C两点坐标，并求抛物线的解析式；
    （2）判断△ABC的形状，并说明理由；
    （3）若△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG（顶点D，E，F，G在△ABC各边上）？若能，求出在AB边上的矩形顶点的坐标；若不能，请说明理由．
    [抛物线的顶点坐标是]

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案