Question

如图，直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，经过B、C两点的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线x=2．
（1）求A点的坐标及该抛物线的函数表达式；
（2）求出△PBC的面积；
（3）请问在对称轴x=2右侧的抛物线上是否存在点Q，使得以点A、B、C、Q所围成的四边形面积是△PBC的面积的

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？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）先由直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，求出B（3，0），C（0，3），再根据抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=2，求出与x轴的另一交点A的坐标为（1，0），然后将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，运用待定系数法即可求出该抛物线的函数表达式；
（2）先利用配方法将二次函数写成顶点式，得到顶点P的坐标，再设抛物线的对称轴交直线y=-x+3于点M，由PM∥y轴，得出M的坐标，然后根据S_△PBC=

1

2

•PM•|x_C-x_B|即可求出△PBC的面积；
（3）设Q（m，m²-4m+3），首先求出以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=

91

72

S_△PBC=

91

72

×3=

91

24

．再分两种情况进行讨论：①当点Q在PB段时，由S_{四边形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ=3+|y_Q|，得出|y_Q|=

91

24

-3=

19

24

，即-m²+4m-3=

19

24

，解方程求出m的值，得到Q₁的坐标；②当点Q在BE段时，过Q点作QH⊥x轴，交直线于H，连结BQ．由S_{四边形ACQB}=S_△ABC+S_△CBQ=3+

3

2

（m²-3m），得出

3

2

（m²-3m）=

91

24

-3=

19

24

，解方程求出m的值，得到Q₂的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点B，点C，
∴B（3，0），C（0，3）．
又∵抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）过x轴上的A，B两点，且对称轴是直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0）．
将A（1，0），B（3，0），C（0，3）代入y=ax²+bx+c，
得

a+b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，解得

a=1 b=-4 c=3

，
∴该抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3；

（2）如图，连结PB、PC．
∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴顶点P的坐标为（2，-1）．
设抛物线的对称轴交直线y=-x+3于点M，
∵PM∥y轴，∴M（2，1），
∴S_△PBC=

1

2

•PM•|x_C-x_B|=

1

2

×（1+1）×3=3；

（3）由图可知，点Q应分为两种情况：在PB段或在BE段．
以点A、B、C、Q所围成的四边形面积=

91

72

S_△PBC=

91

72

×3=

91

24

．
设Q（m，m²-4m+3）．
①当点Q在PB段时，
∵S_{四边形ACBQ}=S_△ABC+S_△ABQ=

1

2

×2×3+

1

2

×2|y_Q|=3+|y_Q|，
∴|y_Q|=

91

24

-3=

19

24

，
∴|m²-4m+3|=

19

24

，即-m²+4m-3=

19

24

，
解得m₁=2+

30

12

，m₂=2-

30

12

，
又点Q在对称轴的右侧，则m=2+

30

12

，
∴Q₁（2+

30

12

，-

19

24

）；
②当点Q在BE段时，过Q点作QH⊥x轴，交直线于H，连结BQ，则H（m，-m+3）．
∵S_{四边形ACQB}=S_△ABC+S_△CBQ=

1

2

×2×3+

1

2

×2（S_△CHQ-S_△BHQ）=3+

1

2

|y_Q-y_H|•|x_C-x_B|=3+

3

2

（m²-3m），
∴

3

2

（m²-3m）=

91

24

-3=

19

24

，
解得m₁=

19

6

，m₂=-

1

6

．
又点Q在对称轴的右侧，则m=

19

6

，
∴Q₂（

19

6

，

13

36

）．
综上所述，当Q₁（2+

30

12

，-

19

24

）或Q₂（

19

6

，

13

36

）时，点A、B、C、Q所围成的四边形面积是△PBC的面积的

91

72

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线的顶点坐标求法，三角形、四边形的面积求法．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．