【题目】如图,以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为D、E,且点D为的中点.
(1)若∠A=70°,求∠DBE的度数;
(2)求证:AB=AC;
(3)若⊙O的半径为5cm,BC=12cm,求线段BE的长.
【答案】(1)35°;(2)详见解析;(3).
【解析】
(1)点D为的中点,则OD⊥BE,且BH=HE,∠ODB=∠OBD=(180°﹣70°)=55°,∠OBE=90°﹣70°=20°,即可求解;
(2)由(1)得:OD是△ABC的中位线,则OD=AC=AB,即可求解;
(3)△ABC为等腰三角形,则cosC==cos∠ODB,则sin∠ODB=,BE=2BH=2BDsin∠ODB,即可求解.
(1)连接OD交BE于点H,连接AD,
∵点D为的中点,则OD⊥BE,且BH=HE,
AB为直径,则∠AEB=90°,∴OD∥AC,且OD是△ABC的中位线,
∵∠CAB=70°,则∠DOB=70°,∠ODB=∠OBD=(180°﹣70°)=55°
∠OBE=90°﹣70°=20°,
则∠DBE=∠OBD﹣∠OBE=55°﹣20°=35°;
(2)由(1)得:OD是△ABC的中位线,则OD=AC=AB,
故AB=AC;
(3)△ABC为等腰三角形,则cosC==cos∠ODB,则sin∠ODB=,
BE=2BH=2BDsin∠ODB=2×6×=.
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【题目】“端午节”是我国的传统佳节,民间历来有吃“粽子”的习俗.我市某食品厂为了解市民对去年销量较好的肉馅粽、豆沙馅粽、红枣馅粽、蛋黄馅粽(以下分别用A、B、C、D表示)这四种不同口味粽子的喜爱情况,在节前对某居民区市民进行了抽样调查,并将调查情况绘制成如下两幅统计图(尚不完整).
请根据以上信息回答:
(1)本次参加抽样调查的居民有多少人?
(2)将两幅不完整的图补充完整;
(3)若居民区有8000人,请估计爱吃D粽的人数;
(4)若有外型完全相同的A、B、C、D粽各一个,煮熟后,小王吃了两个.用列表或画树状图的方法,求他第二个吃到的恰好是C粽的概率.
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【题目】学校实施新课程改革以来,学生的学习能力有了很大提高.王老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状,对该班部分学生进行调查,把调查结果分成四类(A:特别好,B:好,C:一般,D:较差)后,再将调查结果绘制成两幅不完整的统计图(如图1,2).请根据统计图解答下列问题:
(1)本次调查中,王老师一共调查了 名学生;
(2)将条形统计图补充完整;
(3)为了共同进步,王老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点D是AB边上的一点,连结CD,过点C作CD的垂线,与经过点C、D、B的圆交于点E,连结DE,交CB于点F.若AD=1,DB=3,则线段DE的长为_____;△CDF的面积为_____.
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【题目】光线从空气射入水中会发生折射现象,发生折射时,满足的折射定律如图①所示:折射率(代表入射角,代表折射角).小明为了观察光线的折射现象,设计了图②所示的实验;通过细管可以看见水底的物块,但从细管穿过的直铁丝,却碰不上物块,图③是实验的示意图,点A,C,B在同一直线上,测得,则光线从空射入水中的折射率n等于________.
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【题目】仿照例题完成任务:
例:如图1,在网格中,小正方形的边长均为,点,,,都在格点上,与相交于点,求的值.
解析:连接,,导出,再根据勾股定理求得三角形各边长,然后利用三角函数解决问题.具体解法如下:
连接,,则,
,根据勾股定理可得:
,,,
,
是直角三角形,,
即.
任务:
(1)如图2,,,,四点均在边长为的正方形网格的格点上,线段,相交于点,求图中的正切值;
(2)如图3,,,均在边长为的正方形网格的格点上,请你直接写出的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线过点,动点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点运动到点停止,设运动时间为,过点作轴的垂线,交直线于点, 交抛物线于点.连接,是线段的中点,将线段绕点逆时针旋转得线段.
(1)求抛物线的解析式;
(2)连接,当为何值时,面积有最大值,最大值是多少?
(3)当为何值时,点落在抛物线上.
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