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如图在直角坐标系中,二次函数y=x2-4x+k的顶点是C,与x轴相交于A,B两点(A在B的左边).
(1)若点B的横坐标xB满足5<xB<6,求k的取值范围;
(2)若tan∠ACB=
43
,求k的值;
(3)当k=0时,点D,E同时从点B出发,分别向左、向右在抛物线上移动,点D,E在x轴上的正投影分别为M,N,设BM=m(m<OB),BN=n,当m,n满足怎样的等量关系时,△ODE的内心在x轴上?
分析:(1)令y=0,把k看作常数,解关于x的一元二次方程,得到点B的横坐标,再列出不等式组,然后求解即可;
(2)过点A作AG⊥BC于G,作CH⊥AB于H,根据∠ACB的正切值设AG=4a,CG=3a,利用勾股定理列式求出AC=5a,根据二次函数的对称性可得BC=AC=5a,求出BG=2a,再利用勾股定理列式表示出AB=2
5
a,然后表示出BH=
5
a,再利用勾股定理列式表示出CH=2
5
a,然后根据二次函数的性质表示出AB、CH并列出方程求解即可得到k的值;
(3)先求出点B的坐标,再表示出OM、ON,并根据二次函数解析式表示出DM、EN,根据△ODE的内心在x轴上可知∠DOM=∠EON,然后求出△DOM和△EON相似,根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得解.
解答:解:(1)令y=0,则x2-4x+k=0,
解得x=
16-4k
2×1
=2±
4-k

∵A在B的左边,
∴点B的横坐标xB为2+
4-k

∵5<xB<6,
2+
4-k
>5①
2+
4-k
<6②

解不等式①得,k<-5,
解不等式②得,k>-12,
所以,k的取值范围是-12<k<-5;

(2)如图,过点A作AG⊥BC于G,作CH⊥AB于H,
∵tan∠ACB=
4
3

∴设AG=4a,CG=3a,
根据勾股定理,AC=
AG2+CG2
=
(4a)2+(3a)2
=5a,
∵C为二次函数的顶点,
∴BC=AC=5a,
∴BG=BC-CG=5a-3a=2a,
在Rt△ABG中,AB=
AG2+BG2
=
(4a)2+(2a)2
=2
5
a,
∵C为二次函数的顶点,
∴BH=
1
2
AB=
1
2
×2
5
a=
5
a,
在Rt△BCH中,CH=
BC2-BH2
=
(5a)2-(
5
a)
2
=2
5
a,
∴AB=CH,
∵AB=(2+
4-k
)-(2-
4-k
)=2
4-k

CH=
4×1×k-16
4×1
=k-4,
∴2
4-k
=k-4,
两边平方得,16-4k=k2-8k+16,
整理得,k2-4k=0,
解得k1=0,k2=4;

(3)k=0时,y=x2-4x,
令y=0,则x2-4x=0,
解得x1=0,x2=4,
∵A在B的左边,
∴点B的坐标为(4,0),
∴OM=4-m,ON=4+n,
∵点D、E都在二次函数y=x2-4x的图象上,
∴DM=-(4-m)2+4(4-m),
EN=(4+n)2-4(4+n),
∵△ODE的内心在x轴上,
∴∠DOM=∠EON,
又∵∠DMO=∠ENO=90°,
∴△DOM∽△EON,
DM
EN
=
OM
ON

-(4-m)2+4(4-m)
(4+n)2-4(4+n)
=
4-m
4+n

整理得:m=n.
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了抛物线与x轴的交点问题,解一元一次不等式组,二次函数的对称性,锐角三角函数的正切值,勾股定理的应用,三角形的内心是角平分线的交点,相似三角形的判定与性质,综合性较强,(2)列出根据顶点C的纵坐标和AB的长度列出方程是解题的关键,(3)根据△ODE的内心在x轴上得到∠DOM=∠EON是解题的关键.
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