Question

如图1，直线AB：y=-

3

x+

3

与y轴、x轴交于A、B两点，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（t，0），（t＞1）．以BP为直径画圆，交直线AB于点E．

（1）求∠ABO的度数．
（2）当t=5时，求BE的长．
（3）如图2将△AOB沿直线AB翻折180°，得到△ABC．
①求点C的坐标．
②探究：当t取何值时，△EPC和△AOB相似．

Answer 1

分析：（1）先由直线AB的解析式求A、B两点的坐标，再根据锐角三角函数值求∠ABO的度数；
（2）由∠EBP=∠ABO，已知BP，解直角三角形EBP求BE；
（3）①过点C作CM⊥OA于M，在直角三角形ACM中，已知AC及∠CAM的度数，根据锐角三角函数即可求出点C的坐标；
②要使△EPC和△AOB相似，而△AOB是有一个角为30°的直角三角形，只需△EPC也是有一个角为30°的直角三角形．由于∠CEP＜∠BEP=90°，所以有可能∠CPE=90°或者∠PCE=90°，然后分情况讨论．

解答：解：（1）∵直线AB：y=-

3

x+

3

与y轴、x轴交于A、B两点，
∴A（0，

3

），B（1，0）．
在直角△AOB中，∵tan∠ABO=

OA

OB

=

3

，
∴∠ABO=60°；

（2）当t=5时，BP=4，
在直角△EBP中，∠BEP=90°，∠EBP=∠ABO=60°，
∴BE=

1

2

BP=2；

（3）①过点C作CM⊥OA于M．
∵将△AOB沿直线AB翻折180°，得到△ABC，
∴△AOB≌△ACB，
∴∠OAB=∠CAB=30°，AO=AC=

3

，
∴∠MAC=60°．
在直角三角形ACM中，∠AMC=90°，AC=

3

，∠CAM=60°，
∴CM=

3

2

，AM=

3

2

，
∴OM=OA-AM=

3

2

．
∴点C的坐标为（

3

2

，

3

2

）；
②∵△EPC和△AOB相似，∠CEP＜∠BEP=90°，
∴可能∠CPE=90°或者∠PCE=90°，且△EPC有一个角为30°．
设E（x，-

3

x+

3

），点P的坐标为（t，0）．
过点E作EN⊥OP于N，由射影定理，得EN²=BN•NP，
即（-

3

x+

3

）²=（x-1）（t-x），
整理，得t=4x-3．
分如下几种情况：
第一种：如果∠CPE=90°，∠CEP=30°，那么CP=

1

2

CE，
即

(t- 3 2 )2+ ( 3 2 )2

=

1

2

(x- 3 2 )2+( 3 2 + 3 x- 3 )2

，
整理，得20x²-46x+27=0，
∵△=（-46）²-4×20×27＜0，
∴原方程无解；
第二种：如果∠CPE=90°，∠ECP=30°，那么EP=

1

2

CE，
即

(t-x)2+( 3 x- 3 )2

=

1

2

(x- 3 2 )2+( 3 2 + 3 x- 3 )2

，
整理，得44x²-90x+45=0，
∵△=（-90）²-4×44×45=180，
∴x=

45±3 5

44

，
∴t=4x-3=

12±3 5

11

，
又∵t＞1，
∴t=

12+3 5

11

；
第三种：如果∠PCE=90°，∠CEP=30°，那么CP=

1

2

PE，
即

(t- 3 2 )2+ ( 3 2 )2

=

1

2

(t-x)2+( 3 x- 3 )2

，
整理，得13x²-30x+18=0，
∵△=（-30）²-4×13×18＜0，
∴原方程无解；
第四种：如果∠PCE=90°，∠CPE=30°，那么CE=

1

2

PE，
即

(x- 3 2 )2+( 3 2 + 3 x- 3 )2

=

1

2

(t-x)2+( 3 x- 3 )2

，
整理，得x²=0，
∴x=0，
∴t=4x-3=-3，不合题意舍去，
∴原方程无解．
综上，可知当t=

12+3 5

11

时，△EPC和△AOB相似．

点评：本题主要考查了一次函数，直角三角形、全等三角形、相似三角形的知识，综合性强，有一定难度．运用分类讨论的思想解决最后一问是解题的关键．