Question

求证方程x²＋y²＝2006无整数解．

Answer 1

答案：
解析：

证明：假设方程x2＋y2＝2006有整数解，因2006是偶数，x、y的奇偶性必相同． 　　若x、y均为偶数，则4|x2＋y2|，但42006，矛盾； 　　若x、y均为奇数，设x＝2k1－1，y＝2k2－1(k1、k2均为整数)，于是 　　x2＋y2＝(2k1－1)2＋(2k1－1)2＝4－4k1＋1＋4－4k2＋1＝4(－k1)＋4(－k2)＋2， 　　∵与k1、与k2的奇偶性分别相同，且它们的差都是2的倍数， 　　∴x2＋y2＝4(－)＋4(－k2)＋2＝8k＋2(k是整数)， 　　但2006＝8×250＋6，矛盾． 　　所以方程x2＋y2＝2006无整数解． 　　分析：直接证明非常困难，可从问题的反面进行考虑．假设方程有整数解，推出矛盾的事实即可．