Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DE⊥AC，垂足为F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若AE=DE，求∠B的度数．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OD，如图，根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，由OB=OD得∠B=∠ODB，则∠ODB=∠C，于是可判断OD∥AC，由于DF⊥AC，所以OD⊥DF，然后根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）连结OE，如图，由AE=DE得

AE

=

DE

，根据垂径定理有OE⊥AD，接着由圆周角定理得∠ADB=90°，于是可判断OE∥BC，则∠B=∠AOE，∠C=∠AEO，得到∠AOE=∠AEO，则AE=AO，所以△AOE为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得∠AOE=60°，所以∠B=60°．

解答：（1）证明：连结OD，如图，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：连结OE，如图，
∵AE=DE，
∴

AE

=

DE

，
∴OE⊥AD，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴OE∥BC，
∴∠B=∠AOE，∠C=∠AEO，
∵∠B=∠C，
∴∠AOE=∠AEO，
∴AE=AO，
∵AO=EO，
∴AE=AO=EO，
∴△AOE为等边三角形，
∴∠AOE=60°，
∴∠B=60°．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理．