Question

【题目】在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为

t秒．

（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？

（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？

（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？

Answer 1

【答案】（1）2；（2）1或5；（3）3或1.2.

【解析】分析：分别写出BP、BQ的关系式，（1）△PBQ是等腰三角形，则根据BP=BQ即可求得t的大小，即可解题；（2）写出△PQB的面积的表达式，根据BQ、BP的关系式和面积为10cm2即可求得t的大小，即可解题（3）要使得△BPQ∽△BAC，则使得即可．

本题解析：

设t秒后，则BP=6-t，BQ=2t，

（1）△PBQ是等腰三角形，则BP=BQ即6-t=2t，解得t=2；

（2）△PQB的面积为5，则（6-t）（2t）=5，即（t-1）（t-5）=0，解得t=1或5．

（3）①△BPQ∽△BAC，则BP：AB=BQ：BC，即2t=2（6-t），解得t=3．

②△BPQ∽△BCA，则有BP：BC=BQ：AB，∴6-t：12=2t：6，解得t=1.2

∴当t=3秒或t=1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似.

本题考查了三角形面积的计算，考查了等腰三角形腰长相等的性质，考查了相似三角形对应边比值相等的性质，正确列出关于t的方程式是解题的关键.