Question

【题目】如图，在平面在角坐标系中，抛物线y=x2-2x-3与x轴交与点A，B（点A在点B的左侧）交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．

（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，当MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O瓶时针旋转一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中边AQ交坐标轴于点C在旋转过程中，是否存在一点G使得？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，Q的坐标（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）

【解析】

（1）先确定点F的位置，可设点N（m，m2-2m-3），则点F（m，2m-6），可得|NF|=（2m-6）-（m2-2m-3）=-m2+4m-3，根据二次函数的性质得m= 时，NF取到最大值，此时HF=2， F（2，-2），在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J，交y轴于点P，，直线KC的解析式为： ，从而得到直线FJ 的解析式为：联立解出点J（ ,

）得FP+PC的最小值即为FJ的长，且, 最后得出 ;（2）由题意可得出点Q（0，-2），A2=，应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半”取AQ的中点G，连接OG，则OG=GQ=AQ=，此时，∠AQ0=∠GOQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度 （0°<<360°），得到△A'OQ'，其中边A’Q’交坐标轴于点G，则用0G=GQ’，分四种情况求解即可.

解：（1）如图1

∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵点D为抛物线的顶点，且﹣4

∴点D的坐标为D（1，﹣4）

∴直线BD的解析式为：y＝2x﹣6，

由题意，可设点N（m，m2﹣2m﹣3），则点F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴当m＝＝2时，NF 取到最大值，此时MN取到最大值，此时HF＝2，

此时，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）

在x轴上找一点K（，0），连接CK，过点F作CK的垂线交CK于点J点，交y轴于点P，

∴sin∠OCK＝ ，直线KC的解析式为：，且点F（2，﹣2），

∴PJ＝PC，直线FJ的解析式为：

∴点J（ , ）

∴FP+PC的最小值即为FJ的长，且

∴；

（2）由（1）知，点P（0， ），

∵把点P向上平移 个单位得到点Q

∴点Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中点G，连接OG，则OG＝GQ＝AQ＝，此时，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G

①如图2

G点落在y轴的负半轴，则G（0，﹣），过点Q'作Q'I⊥x轴交x轴于点I，且∠GOQ'＝∠Q'

则∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，

∵sin∠OAQ＝＝＝

∴，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ'中根据勾股定理可得|OI|＝

∴点Q'的坐标为Q'（，﹣）；

②如图3，

当G点落在x轴的正半轴上时，同理可得Q'（，）

③如图4

当G点落在y轴的正半轴上时，同理可得Q'（﹣，）

④如图5

当G点落在x轴的负半轴上时，同理可得Q'（﹣，﹣）

综上所述，所有满足条件的点Q′的坐标为：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）