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    精英家教网如图所示，过点F（0，1）的直线y=kx+b与抛物线y=
    14
    x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点（其中x1＜0，x2＞0）．
    （1）求b的值．
    （2）求x1•x2的值．
    （3）分别过M，N作直线l：y=-1的垂线，垂足分别是 M1和N1．判断△M1FN1的形状，并证明你的结论．
    （4）对于过点F的任意直线MN，是否存在一条定直线m（m是常数），使m与以MN为直径的圆相切？如果有，请求出这条直线m的解析式；如果没有，请说明理由．
    分析：（1）把点F的坐标代入直线可以确定b的值．
    （2）联立直线与抛物线，代入（1）中求出的b值，利用根与系数的关系可以求出x1•x2的值．
    （3）确定M1，N1的坐标，利用两点间的距离公式，分别求出M1F2，N1F2，M1N12，然后用勾股定理判断三角形的形状．
    （4）根据题意可知y=-1总与该圆相切．
    解答：解：（1）∵直线y=kx+b过点F（0，1），
    ∴b=1；

    （2）∵直线y=kx+b与抛物线y=
    1
    4
    x2交于M（x1，y1）和N（x2，y2）两点，
    ∴可以得出：kx+b=
    1
    4
    x2，
    整理得：
    1
    4
    x2-kx-1=0，
    ∵a=
    1
    4
    ，c=-1，
    ∴x1•x2=-4，

    （3）△M1FN1是直角三角形（F点是直角顶点）．
    理由如下：∵FM12=FF12+M1F12=x12+4，
    FN12=FF12+F1N12=x22+4，
    M1N12=（x2-x1）2=x12+x22-2x1x2=x12+x22+8，
    ∴FM12+FN12=M1N12，
    ∴△M1FN1是以F点为直角顶点的直角三角形．

    精英家教网（4）符合条件的定直线m即为直线l：y=-1．
    过M作MH⊥NN1于H，MN2=MH2+NH2=（x1-x2）2+（y1-y2）2，
    =（x1-x2）2+[（kx1+1）-（kx2+1）]2，
    =（x1-x2）2+k2（x1-x2）2，
    =（k2+1）（x1-x2）2，
    =（k2+1）[（x1+x2）2-4x1•x2]
    =（k2+1）（16k2+16）
    =16（k2+1）2，
    ∴MN=4（k2+1），
    分别取MN和M1N1的中点P，P1，
    PP1=
    1
    2
    （MM1+NN1）=
    1
    2
    （y1+1+y2+1）=
    1
    2
    （y1+y2+2）=
    1
    2
    （y1+y2）+1=
    1
    2
    k（x1+x2）+2=2k2+2，
    ∴PP1=
    1
    2
    MN
    即线段MN的中点到直线l的距离等于MN长度的一半．
    ∴以MN为直径的圆与l相切．
    即对于过点F的任意直线MN，存在一条定直线m，使m与以MN为直径的圆相切，这条直线m的解析式是y=-1．
    点评：本题考查的是二次函数的综合题，
    （1）由点F的坐标求出b的值．
    （2）结合直线与抛物线的解析式，利用根与系数的关系求出代数式的值．
    （3）用两点间的距离公式，判断三角形的形状．
    （4）根据点与圆的位置判断直线与圆的位置．
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    14
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    4x
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    3
    3
    ．

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