Question

【题目】如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，请回答下列问题：

（1）四边形ADEF是什么四边形？

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？

（3）当△ABC满足什么条件时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在？

Answer 1

【答案】（1）四边形ADEF是平行四边形；

（2）∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

【解析】

（1）四边形ADEF平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三DAE角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF平行四边形；

（2）若边形ADEF是矩形，则∠FAD=90°，然后根据已知可以得到∠BAC=150°；

（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．

（1）四边形ADEF是平行四边形．理由如下：

∵△ABD，△EBC都是等边三角形，∴AD=BD=AB，BC=BE=EC，∠DBA=∠EBC=60°，∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA，∴∠DBE=∠ABC．

在△DBE和△ABC中，∵BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC，∴△DBE≌△ABC，∴DE=AC．

又∵△ACF是等边三角形，∴AC=AF，∴DE=AF．

同理可证：AD=EF，∴四边形ADEF平行四边形．

（2）当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．理由如下：

∵四边形ADEF是矩形，∴∠FAD=90°，∴∠BAC=360°﹣∠DAF﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣90°﹣60°﹣60°=150°，∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形．

（3）当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．理由如下：

若∠BAC=60°，则∠DAF=360°﹣∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC=360°﹣60°﹣60°﹣60°=180°．

此时，点A、D、E、F四点共线，∴以A、D、E、F为顶点的四边形不存在．