Question

如图所示，⊙O的直径EF为10cm，弦AB，CD分别为6cm和8cm，且AB∥EF∥CD，则图中阴影部分的面积和为（　　）

• A、

  25

  2

  πcm²
• B、

  25

  3

  πcm²
• C、

  75

  8

  πcm²
• D、

  175

  12

  πcm²

Answer 1

分析：本题易得出△ABO与△ABE的面积相等，△OCD与△CDF的面积相等（这两组三角形都是同底等高），因此阴影部分的面积为扇形OAB的面积和扇形OCD的面积和．直接求两个扇形的面积由难度，因此可找出它们之间的关系再进行求解．
过O作圆的直径MN，使得MN⊥EF与O，交AB于G；那么在Rt△BOG和Rt△COH中，易证得∠GBO=∠COH（通过两角的正弦值求证）．因此可得出∠BOF=∠CON，即扇形OBF的面积与扇形OCN的面积相等，也就得出了扇形OBF与扇形OAE的面积和正好等于扇形OCD的面积；因此阴影部分的面积和正好是半个圆的面积，由此可得出所求的解．

解答：解：如图，作直径MN，使MN⊥EF于O，交AB于G，交CD于H；连接OA、OB、OC、OD；
在Rt△OBG中，BG=3cm，OB=5cm，因此OG=4cm；
同理：在Rt△OCH中，CH=4cm，OC=5cm，因此OH=3cm；
sin∠DOF=

OH

OD

=

3

5

，sin∠BOF=

OG

OB

=

4

5

，sin∠COE=

OH

OC

=

3

5

，
sin∠AOE=

OG

OA

=

4

5

；即∠DOF=∠AOM=∠COE=∠BOM，∠CON=∠DON=∠AOE=∠BOF
因此S_扇形OAE=S_扇形OBF=S_扇形CON=S_扇形ODN；
∴S_阴影=S_△ABE+S_弓形AMB+S_△CDF+S_弓形CND
=S_△OAB+S_弓形AMB+S_△OCD+S_弓形CND
=S_扇形OAB+S_扇形OCN+S_扇形ODN
=S_扇形OAB+S_扇形OAE+S_扇形OBF
=

1

2

S_⊙O
=

25π

2

cm²．
故选A．

点评：本题考查学生的观察能力及计算能力．本题中找出两个阴影部分面积之间的联系是解题的关系．