分析 根据题中给出的列子找出规律即可得出结论.
解答 解:观察:
①$\sqrt{1+\frac{1}{{1}^{2}}+\frac{1}{{2}^{2}}}=1+\frac{1}{1}-\frac{1}{1+1}=1\frac{1}{2}$:
②$\sqrt{1+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{3}^{2}}}=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2+1}=1\frac{1}{6}$:
③$\sqrt{1+\frac{1}{{3}^{2}}+\frac{1}{{4}^{2}}}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{3+1}=1\frac{1}{12}$.
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{4}^{2}}+\frac{1}{{5}^{2}}}$=1+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4+1}$=1$\frac{1}{20}$,
当n为正整数时,$\sqrt{1+\frac{1}{{n}^{2}}+\frac{1}{(n+1)^{2}}}$=1+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1$\frac{1}{n(n+1)}$.
故答案为:1$\frac{1}{20}$,1$\frac{1}{n(n+1)}$.
点评 本题考查的是二次根式的性质与化简,根据题意找出规律是解答此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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