Question

【题目】已知：如图①，将∠D＝60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点(点M不与点B、点C重合)，将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．

(1)①求证：∠ANB＝∠AMC；

②探究△AMN的形状；

(2)如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，(1)中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

Answer 1

【答案】(1)①证明见解析；②△AMN是等边三角形，理由见解析；(2)见解析.

【解析】

(1)①先由菱形可知四边相等,再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC,则对角线AC与四边都相等,利用ASA证明△ANB≌△AMC,得结论;

②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出:△AMN是等边三角形

(2)①成立,根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°,证明△ANB∽△AMC,得∠ANB=∠AMC;

②不成立,△AMN是等腰直角三角形,利用①中的△ANB∽△AMC,得比例式进行变形后,再证明△NAM∽△BAD,则△AMN是等腰直角三角形

(1)如图1，①∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，

∵∠D＝60°，

∴△ADC和△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°，

∵∠NAM＝60°，

∴∠NAB＝∠CAM，

由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE＝60°，

∵∠ABC＝60°，

∴∠ABN＝60°，

∴∠ABN＝∠ACB＝60°，

∴△ANB≌△AMC，

∴∠ANB＝∠AMC；

②如图1，△AMN是等边三角形，理由是：

由∴△ANB≌△AMC，

∴AM＝AN，

∵∠NAM＝60°，

∴△AMN是等边三角形；

(2)①如图2，∠ANB＝∠AMC成立，理由是：

在正方形ABCD中，

∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝45°，

∵∠NAM＝45°，

∴∠NAB＝∠MAC，

由平移得：∠EBC＝∠CAD＝45°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABN＝180°﹣90°﹣45°＝45°，

∴∠ABN＝∠ACM＝45°，

∴△ANB∽△AMC，

∴∠ANB＝∠AMC；

②如图2，不成立，

△AMN是等腰直角三角形，理由是：

∵△ANB∽△AMC，

∴ ，

∴ ，

∵∠NAM＝∠BAC＝45°，

∴△NAM∽△BAC，

∴∠ANM＝∠ABC＝90°，

∴△AMN是等腰直角三角形．