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精英家教网如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=4,点M是AD的中点,△MBC是等边三角形.
(1)求证:梯形ABCD是等腰梯形;
(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设PC=x,MQ=y,求y与x的函数关系式;
(3)在(2)中:
①当动点P、Q运动到何处时,以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形?并指出符合条件的平行四边形的个数;
②当y取最小值时,判断△PQC的形状,并说明理由.
分析:(1)需证△AMB≌△DMC,可得AB=DC,可得梯形ABCD是等腰梯形;
(2)可证△BPM∽△CQP,
PC
BM
=
CQ
BP
,PC=x,MQ=y,BP=4-x,QC=4-y,
x
4
=
4-y
4-x
,即可得出y=
1
4
x2
-x+4;
(3)应考虑四边形ABPM和四边形MBPD均为平行四边形,四边形MPCD和四边形APCM均为平行四边形时的情况;由(2)中的函数关系,可得当y取最小值时,x=PC=2,P是BC的中点,MP⊥BC,而∠MPQ=60°,∠CPQ=30°,∠PQC=90°.
解答:(1)证明:∵△MBC是等边三角形,
∴MB=MC,∠MBC=∠MCB=60°.(1分)
∵M是AD中点,
∴AM=MD.
∵AD∥BC,
∴∠AMB=∠MBC=60°,∠DMC=∠MCB=60°.
∴△AMB≌△DMC.(2分)
∴AB=DC.
∴梯形ABCD是等腰梯形.(3分)

(2)解:在等边△MBC中,MB=MC=BC=4,∠MBC=∠MCB=60°,∠MPQ=60°,
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°.
∴∠BMP=∠QPC.(4分)
∴△BPM∽△CQP.
PC
BM
=
CQ
BP
.(5分)
∵PC=x,MQ=y,
∴BP=4-x,QC=4-y.(6分)
x
4
=
4-y
4-x

∴y=
1
4
x2
-x+4.(7分)
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(3)解:①当BP=1时,则有BP
.
.
AM,BP
.
.
MD,
则四边形ABPM为平行四边形,
∴MQ=y=
1
4
×32-3+4=
13
4
.(8分)
当BP=3时,则有PC
.
.
AM,PC
.
.
MD,
则四边形MPCD为平行四边形,
∴MQ=y=
1
4
×12-1+4=
13
4
.(9分)
∴当BP=1,MQ=
13
4
或BP=3,MQ=
13
4
时,
以P、M和A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形.此时平行四边形有2个.(10分)
②△PQC为直角三角形.(11分)
∵y=
1
4
(x-2)2+3,
∴当y取最小值时,x=PC=2.(12分)
∴P是BC的中点,MP⊥BC,而∠MPQ=60°,
∴∠CPQ=30°,
∴∠PQC=90°.
∴△PQC是直角三角形.(13分)
点评:本题考查平行四边形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性质的应用.
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=
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