Question

16．如图1，直线AB：y=-x-b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴与C，且OB：OC=3：1．
（1）求直线BC的函数表达式；
（2）如图2，P为x轴上A点右侧的一动点，以P为直角顶点，BP为一腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？如果不变请求出它的坐标；如果变化，请说明理由．
（3）直线EF：y=$\frac{1}{2}$x-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S_△EBD=
S_△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设BC的解析式是Y=ax+c，由直线AB：y=-x-b过A（6，0），可以求出b，因此可以求出B点的坐标，再由已知条件可求出C点的坐标，把B，C点的坐标分别代入求出a和c的值即可；
（2）不变化，过Q作QH⊥x轴于H，首先证明△BOP≌△HPQ，再分别证明△AHQ和△AOK为等腰直角三角形，问题得解；
（3）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°，由题目的条件证明△NFD≌△EDM，进而得到FN=ME，联立直线AB：y=-x-b和y=2x-k求出交点E和F的纵坐标，再利用等底等高的三角形面积相等即可求出k的值；

解答 解：（1）直线AB：y=-x-b分别与x，y轴交于A（6，0）、B两点，
∴0=-6-b，
∴b=-6，
∴直线AB的解析式为：y=-x+6．
∴B（0，6），
∴OB=6，
∵OB：OC=3：1，
∴OC=$\frac{1}{3}$OB=2，∴C（-2，0），
设BC的解析式是y=ax+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6=0•a+c}\\{0=-2a+c}\end{array}\right.$
∴$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式是：y=3x+6；

（2）K点的位置不发生变化，K（0，-6）．
如图1，过Q作QH⊥x轴于H，
∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BPQ=90°，PB=PQ，
∵∠BOA=∠QHA=90°，
∴∠BPO=∠PQH，
在△BOP与△HPQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOB=∠QHA}\\{∠BPO=∠PQH}\\{BP=PQ}\end{array}\right.$，
∴△BOP≌△HPQ（AAS），
∴PH=BO，OP=QH，
∴PH+PO=BO+QH，
即OA+AH=BO+QH，
又∵OA=OB，
∴AH=QH，
∴△AHQ是等腰直角三角形，
∴∠QAH=45°，
∴∠OAK=45°，
∴△AOK为等腰直角三角形，
∴OK=OA=6，
∴K（0，-6）；

（3）如图2，过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．
∵S_△EBD=S_FBD，
∴DE=DF．
又∵∠NDF=∠EDM，
在△NFD与△EDM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FND=∠DEM}\\{∠NDF=∠EDM}\\{DE=DF}\end{array}\right.$，
∴△NFD≌△EDM（AAS），
∴FN=ME．
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-k}\\{y=-x+6}\end{array}\right.$得E点的纵坐标y_E=$\frac{6-2k}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}x-k}\\{y=3x+6}\end{array}\right.$得F点的纵坐标y_F=$\frac{-6-6k}{5}$
∵FN=-y_F，ME=y_E，
∴k=$\frac{3}{7}$；
当k=$\frac{3}{7}$时，存在直线EF：y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{7}$，使得S_△EBD=S_△FBD．

点评 此题综合考查了用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定和全等三角形的性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，解题的关键是正确求解析式以及借助于函数图象全面的分析问题．