Question

（满分14分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC、AC于D、E两点，过点D作DF⊥AC，垂足为点F．

小题1:（1）求证：DF是⊙O的切线；
小题2:（2）若弧AE=弧DE，DF=2，求弧AD的长.

Answer 1

小题1:（1）证明：连结OD
∵AB=AC，∴∠C=∠B.………………………………………………2分
∵OD=OB，∴∠B=∠1.
∴∠C=∠1. ………………………………………………………3分
∴OD∥AC，∴∠2=∠FDO. …………………………… …………4分
∵DF⊥AC，∴∠2=90°，∴∠FDO=90°，
即FD⊥OD且D点在⊙O 上---------------------------------5分
∴FD是圆O的切线.……………………………………6分
小题2:（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.…………7分
∵AC=AB，∴∠3=∠4………………………………8分
∴，∵，∴……………9分
∴∠B=2∠4，∴∠B=60°，∠5=120°，
∴△ABC是等边三角形, ∠C=60°.………………………11分
在Rt△CFD中,sinC=,CD=，
∴DB=，AB=BC=∴AO=.……………………13分
∴.………………………………………14分

略