Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，O是△ABC的内心，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有公共点，则r的取值范围是1≤r≤$\sqrt{10}$．

Answer 1

分析 作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据题意得出四边形OECF是正方形，得出OF=CF，由勾股定理得出AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，由内心的性质得出CF=OF=1，AF=AC-CF=3，由勾股定理求出OA，由直线与圆的位置关系，即可得出结果．

解答 解：作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，连接OA、OB，如图所示
则四边形OECF是正方形，
∴OF=CF=OE=CE，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=5，
∵O是△ABC的内心，
∴CE=CF=OF=OE=$\frac{1}{2}$（AC+BC-AB）=1，
∴AF=AC-CF=3，BE=BC-CE=2，
∴OA=$\sqrt{A{F}^{2}+0{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，OB=$\sqrt{B{E}^{2}+O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
当r=1时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有唯一交点；
当1＜r≤$\sqrt{5}$时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有两个交点；
当$\sqrt{5}$＜r≤$\sqrt{10}$时，以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有1个交点；
∴以O为圆心，r为半径的圆与线段AB有交点，则r的取值范围是1≤r≤$\sqrt{10}$；
故答案为1≤r≤$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、三角形的内切圆与内心、勾股定理、直角三角形内切圆半径的计算等知识；熟练掌握直线与圆的位置关系，由勾股定理求出OA是解决问题的关键．