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11.如图,△ABC为⊙O的内接三角形,BD为⊙O的直径,∠ABC=∠D,AC=2$\sqrt{3}$,AD=6,延长DB到E,使BE=BO,连接EA,那么直线EA与⊙O相切吗?为什么?

分析 先在Rt△ABD中利用勾股定理计算出BD=4$\sqrt{3}$,则OB=OA=2$\sqrt{3}$,证出△OAB为等边三角形,得到∠ABD=∠BAO=60°,再计算出∠BAE=30°,由此得到∠OAE=∠BAO+∠BAE=90°,然后根据切线的判定定理得直线EA与⊙O相切.

解答 解:直线EA与⊙O相切.
理由如下:连接OA,如图所示:
∵∠ABC=∠D,∠D=∠C,
∴∠ABC=∠C,
∴AB=AC=2$\sqrt{3}$,
Rt△ABD中,∵AB=2$\sqrt{3}$,AD=6,
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=4$\sqrt{3}$,
∴OB=OA=2$\sqrt{3}$,
∴△OAB为等边三角形,
∴∠ABD=∠BAO=60°,
∵BO=BE,
∴BE=AB,
∴∠E=∠BAE,
∴∠BAE=30°,
∴∠OAE=∠BAO+∠BAE=60°+30°=90°,
∴OA⊥AE,
∴直线EA与⊙O相切.

点评 本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质、切线的判定等知识;熟练掌握圆周角定理和勾股定理,证明三角形相似是解决问题的关键.

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