Question

【题目】综合与探究：

在平面直角坐标系中，已知点，点是轴上的一个动点．

自主探究：

（1）点到轴的距离是_______，到原点的距离是 ．

（2）点关于轴的对称点坐标为________，关于原点的对称点的坐标为 ．

探索发现：

（3）当取何值时，是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）1，；（2），；（3）的值为或或或．

【解析】

(1)根据坐标与图形性质得到点P到x轴的距离，根据勾股定理求出点P到原点的距离；

(2)根据坐标关于y轴以及原点对称的特点即可得出点P的对称点的坐标；

(3)因为，当，，时，分三种情况分别讨论即可求得答案．

(1)点P的坐标为(-2，-1)，
点P到x轴的距离为：，
到原点的距离为：，

故答案为：1，；

(2)关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标为相反数，

∴点P(-2，-1)关于y轴的对称点的坐标为(2，-1)，

关于原点对称，横、纵坐标都为其相反数，

∴点P关于原点的对称点的坐标为(2，1)，

故答案为：(2，-1)，(2，1)；

(3)∵，

①当时，为等腰三角形，，

若动点在原点左侧，则有；

若动点在原点右侧，则有；

②如图1，当时， 为等腰三角形，过点作轴于点，

则点与点关于直线对称，则有；

③如图2，当时，为等腰三角形，过点作轴于点，

则，

在中，，即，

解得:，

∴ ．

综上所述，当的值取或或或时，为等腰三角形．