Question

16．正方形ABCD的边长为1，对角线AC与BD相交于点O，点E是AB边上的一个动点（点E不与点A、B重合），CE与BD相交于点F，设线段BE的长度为x．

（1）如图1，当AE=2OF时，求出x的值；
（2）如图2，把线段CE绕点E顺时针旋转90°，使点C落在点P处，连接AP，设△APE的面积为S，试求S与x的函数关系式并求出S的最大值．

Answer 1

分析 （1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，由平行线等分线段定理得到CM=ME，根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=$\frac{1-x}{2}$解方程x+$\frac{1-x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得到结果；
（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，根据已知条件得到∠ECB=∠PEG，根据全等三角形的性质得到EB=PG=x，由三角形的面积公式得到S=$\frac{1}{2}$（1-x）•x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，根据二次函数的性质即可得到结论．

解答 解：（1）过O作OM∥AB交CE于点M，如图1，
∵OA=OC，
∴CM=ME，
∴AE=2OM=2OF，
∴OM=OF，
∴$\frac{OM}{BE}=\frac{OF}{BF}$，
∴BF=BE=x，
∴OF=OM=$\frac{1-x}{2}$，
∵AB=1，
∴OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x+$\frac{1-x}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴x=$\sqrt{2}$-1；

（2）过P作PG⊥AB交AB的延长线于G，如图2，
∵∠CEP=∠EBC=90°，
∴∠ECB=∠PEG，
∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90°，
在△EPG与△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠PGE}\\{∠CEB=∠PEG}\\{PE=EC}\end{array}\right.$，
∴△EPG≌△CEB，
∴EB=PG=x，
∴AE=1-x，
∴S=$\frac{1}{2}$（1-x）•x=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{8}$，（0＜x＜1），
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，S的值最大，最大值为$\frac{1}{8}$，．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形中位线的性质，三角形面积的计算，二次函数的性质，证得△EPG≌△CEB是解题的关键．