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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，B（5，0），M为等腰梯形OBCD底边OB上一点，OD=BC=2，∠DMC=∠DOB=60度．
    （1）求点D，B所在直线的函数表达式；
    （2）求点M的坐标；
    （3）∠DMC绕点M顺时针旋转α（0°＜α＜30°后，得到∠D1MC1（点D1，C1依次与点D，C对应），精英家教网射线MD1交边DC于点E，射线MC1交边CB于点F，设DE=m，BF=n．求m与n的函数关系式．
    分析：（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．利用三角函数可求得，点D的坐标为（1，
    		3
    ），设直线DB的函数表达式为y=kx+b，把点B（5，0），D（1，
    		3
    ）代入解析式利用待定系数法，得直线DB的函数表达式为y=-
    		3
    4
    x+
    5
    4
    		3
    ；
    （2）先证明△ODM∽△BMC．得
    OD
    BM
    =
    OM
    BC
    =
    DM
    MC
    ，所以OD•BC=BM•OM．设OM=x，则BM=5-x，得2×2=x（5-x），解得x的值，即可求得M点坐标；
    （3）（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图①，OM=1，BM=4．先求得DME∽△CMF，所以
    DE
    CF
    =
    DM
    CM
    =
    OD
    BM
    =
    2
    4
    =
    1
    2
    ，
    可得CF=2DE．所以2-n=2m，即m=1-
    n
    2
    ．（Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，OM=4，BM=1．同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，得
    DE
    CF
    =
    DM
    CM
    =
    OD
    BM
    =
    2
    1
    =2    ，所以DE=2CF．解得m=2（2-n），即m=4-2n．
    解答：精英家教网解：（1）过点D作DA⊥OB，垂足为A．
    在Rt△ODA中，∠DAO=90°，∠DOB=60°，
    ∴DA=OD•sin∠DOB=
    		3
    ，
    OA=OD•cos∠DOB=1，
    ∴点D的坐标为（1，
    		3
    ），
    设直线DB的函数表达式为y=kx+b，
    由B（5，0），D（1，
    		3
    ），得
    0=5k+b
    		3
    =k+b
    ，
    解得
    k=-
    		3
    4
    b=
    5
    4
    		3
    ，精英家教网
    ∴直线DB的函数表达式为y=-
    		3
    4
    x+
    5
    4
    		3
    ；

    （2）∵∠DMC=∠DOB=60°，
    ∴∠ODM+∠DMO=120°，∠DMO+∠CMB=120°，
    ∴∠ODM=∠CMB，
    ∵等腰梯形OBCD的∠DOB=∠CBO，
    ∴△ODM∽△BMC，
    ∴
    OD
    BM
    =
    OM
    BC
    =
    DM
    MC
    ，
    ∴OD•BC=BM•OM，
    ∵B点为（5，0），
    ∴OB=5．
    设OM=x，则BM=5-x
    ∵OD=BC=2，
    ∴2×2=x（5-x），
    解得x1=1，x2=4，
    ∴M点坐标为（1，0）或（4，0）；

    （3）解：（Ⅰ）当M点坐标为（1，0）时，如图1，
    精英家教网OM=1，BM=4．
    ∵DC∥OB，
    ∴∠MDE=∠DMO，
    又∵∠DMO=∠MCB，
    ∴∠MDE=∠MCB，
    ∵∠DME=∠CMF=α，
    ∴△DME∽△CMF，
    ∴
    DE
    CF
    =
    DM
    CM
    =
    OD
    BM
    =
    2
    4
    =
    1
    2
    ，
    ∴CF=2DE，
    ∵CF=2-n，DE=m，
    ∴2-n=2m，即m=1-
    n
    2
    ；
    （Ⅱ）当M点坐标为（4，0）时，如图2
    精英家教网OM=4，BM=1．
    同（Ⅰ），可得△DME∽△CMF，
    ∴
    DE
    CF
    =
    DM
    CM
    =
    OD
    BM
    =
    2
    1
    =2    ，
    ∴DE=2CF，
    ∵CF=2-n，DE=m，
    ∴m=2（2-n），即m=4-2n．
    综上所述，m与n的函数关系式为：m=1-
    n
    2
    或m=4-2n．
    点评：主要考查了函数和几何图形的综合运用，其涉及的知识点比较多．解题的关键是会灵活的运用函数图象的性质和交点的意义结合梯形的性质利用相似比中的成比例线段作为相等关系求线段之间的等量关系．试题中贯穿了方程思想和数形结合的思想，请注意体会．
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    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

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    5
    29
    5
    29
    ．

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    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

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    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
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    k
    x
    的解析式为（　　）

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    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

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