Question

2．已知，如图，扇形AOD的半径为4，A，B，C，D是弧上四点，且AB=BC=CD=2，则AD的长度=5.5．

Answer 1

分析 作BH⊥AD于H，OE⊥BC于E，交AD于F，连接OA、OB，如图，根据圆心角、弧、弦的关系由AB=CD=2得到弧AB=弧CD，则BC∥AD，于是可判断四边形ABCD为等腰梯形，由OE⊥BC得到OF⊥AD，根据垂径定理得BE=EC=1，AF=DF，在Rt△△OBE中，利用勾股定理计算出OE=$\sqrt{15}$，设AD=2x，则AF=x，AH=AF-HF=x-1，在Rt△ABH中，利用勾股定理得BH=$\sqrt{{2}^{2}-（x-1）^{2}}$，则OF=$\sqrt{15}$-$\sqrt{{2}^{2}-（x-1）^{2}}$，在Rt△AOF中，根据勾股定理得到（$\sqrt{15}$-$\sqrt{{2}^{2}-（x-1）^{2}}$）²+x²=16，整理得4x²-7x-11=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{11}{4}$，然后利用AD=2x计算即可．

解答 解：作BH⊥AD于H，OE⊥BC于E，交AD于F，连接OB，如图，
∵AB=CD=2，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{CD}$，
∴BC∥AD，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∵OE⊥BC，
∴OF⊥AD，
∴BE=EC=1，AF=DF，
在Rt△△OBE中，OE=$\sqrt{O{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{15}$，
设AD=2x，则AF=x，AH=AF-HF=x-1，
在Rt△ABH中，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-（x-1）^{2}}$，
∴OF=OE-EF=OE-BH=$\sqrt{15}$-$\sqrt{{2}^{2}-（x-1）^{2}}$，
在Rt△AOF中，∵OF²+AF²=OA²，
∴（$\sqrt{15}$-$\sqrt{{2}^{2}-（x-1）^{2}}$）²+x²=16，
整理得4x²-7x-11=0，解得x₁=-1，x₂=$\frac{11}{4}$，
∴AD=2x=5.5．
故答案为5.5．

点评 本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰梯形的判定．