解答:解:(1)如图1,
∵△APE绕点P顺时针旋转90°得到△DPF,
∴∠D=∠A,∠DFP=∠AEP,∠DPB=∠APE=90°,
AP=DP,EP=FP,AE=DF.
∵点F与点B重合,
∴PB=PF.
∴EP=BP.
∵AB=20,AP=4t,
∴EP=BP=20-4t.
∵∠APE=∠ABC=90°,
∴PE∥BC.
∴△APE∽△ABC,
∴
=,
∵BC=15,AP=4t,AB=20,
∴PE=3t.
∵EP=BP=20-4t,
∴3t=20-4t.
解得:t=
.
∴t的值为
(秒).
(2)当△DPF与△ABC重叠部分的图形为四边形时,如图2,
此时
0<t≤.
∵PE∥BC,
∴∠DEG=∠C.
又∵∠D=∠A,
∴△DGE∽△ABC.
∴
=(
)
2.
∵∠B=90°,AB=20,BC=15,
∴AC=25,S
△ABC=
×20×15=150.
∵DE=DP-EP=AP-EP=4t-3t=t,
∴
=(
)
2.
∴S
△DGE=
.
∵S
△DPF=S
△APE=
AP•EP=
×4t×3t=6t
2,
∴S=S
△DPF-S
△DGE=6t
2-
=
.
∴S与t的函数关系式为S=
.其中
0<t≤.
(3)设DF交AC于点G,过点M作MH⊥AB于点H,过点M作MN⊥BC于点N,如图3,
∵△DEG∽△ACB,
∴∠DGE=∠B=90°,
=
.
∵DE=t,AB=20,AC=25,
∴DG=
.
∵∠APE=90°,AP=4t,PE=3t,
∴AE=5t.
∴DF=AE=5t
∵点M是DF的中点,
∴DM=FM=
DF=
.
∴MG=DM-DG=
-
=
.
∵∠MHF=∠DPF=90°,
∴MH∥DP.
∴△FNM∽△FPD.
∴
=
.
∴MH=
DP=2t,FH=
FP=
EP=
.
∴PH=FH=
.
∴HB=AB-AP-PH=20-4t-
=20-
.
∵∠MHB=∠B=∠MNB=90°,
∴四边形MNBH是矩形.
∴MN=HB=20-
.
①当点M在∠A的角平分线上时,
∵MG⊥AC,MH⊥AB,
∴MG=MH.
∴
=2t.
解得:t=0.(舍去)
②当点M在∠B的角平分线上时,
∵MH⊥AB,MN⊥BC,
∴MH=MN.
∴2t=20-
.
解得:t=
.
③当点M在∠C的角平分线上时,
∵MG⊥AC,MN⊥BC,
∴MG=MN.
∴
=20-
.
解得:t=
.
综上所述:当点M恰好在Rt△ABC的内角角平分线上时,t的值为
(秒)或
(秒).
(4)①当点F与点B重合时,如图1,
此时t=
,△APE≌△DPF,
该图中有5个三角形彼此相似但不全等,分别是△DGE、△APE(或△DPB)、△AGB、△ABC、△BGC.
②当点G与点C重合时,如图5,
∵∠ABC=∠ACF=90°,∠A=∠A,
∴△ABC∽△ACF.
∴
=
.
∴AC
2=AB•AF.
∴25
2=20×7t
∴t=
.
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等,分别是△DCE、△APE(或△DPF)、△ABC、△ACF、△CBF.
③当0<t<
时,如图2,
此时△APE≌△DPF,
该图中有4个三角形彼此相似但不全等,分别是△DGE、△APE(或△DPF)、△AGF、△ABC.
④当
<t<
时,
则有△APE≌△DPF,AP=DP=4t,PF=PE=3t,AE=DF=5t,DE=t,DG=
,EG=
,
BF=AP+PF-AB=7t-20,GC=AC-AE-EG=25-5t-
=25-
.
Ⅰ.若△APE≌△OGC,如图4①,
则有GC=PE,即25-
=3t.
解得:t=
.
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等,分别是△DGE、△APE(或△DPF或△OGC)、△ABC、△AGF、△OBF.
Ⅱ.若△DGE≌△OBF,如图4②,
则有GE=BF,即
=7t-20.
解得:t=
.
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等,分别是△DGE(或△OBF)、△APE(或△DPF)、△ABC、△AGF、△OGC.
Ⅲ.若△OGC≌△OBF,如图4③,
则有GC=BF,即25-
=7t-20.
解得:
t=.
此时BF=GC=5,
所以AF=25=AC,AG=20=AB.
所以Rt△ABC≌Rt△AGF(HL).
此时该图中有4个三角形彼此相似但不全等,分别是△DGE、△APE(或△DPF)、△ABC(或△AGF)、△OGC(或△OBF).
Ⅳ.若△DGE≌△OGC,如图4④,
则有GE=GC,即
=25-
.
解得:t=
.
此时该图中有5个三角形彼此相似但不全等,分别是△DGE(或△OGC)、△APE(或△DPF)、△ABC、△AGF、△OBF.
Ⅴ.当
<t<
,且t≠
,t≠
,t≠
,t≠
时,
此时该图中有6个三角形彼此相似但不全等,分别是△DGE、△APE(或△DPF)、△ABC、△AGF、△OGC、△OBF.
⑤当
<t<5时,如图6,
此时该图中有2个三角形彼此相似但不全等,分别是△APE(或△DPF)、△ABC.
综上所述:当图中出现2个彼此相似但互不全等的三角形时,t的取值范围为
<t<5;
当图中出现4个彼此相似但互不全等的三角形时,t的取值范围为0<t<
或
t=;
当图中出现5个彼此相似但互不全等的三角形时,t的取值范围为
、
、
、
、
;
当图中出现6个彼此相似但互不全等的三角形时,t的取值范围为当
<t<
,且t≠
、t≠
、t≠
、t≠
.