如图,矩形ABCD中,点P在边CD上,且与点C、D不重合,过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q,连接PQ,PQ的中点为M.
(1)求证:△ADP∽△ABQ;
(2)若AD=10,AB=20,点P在边CD上运动,设DP=x,BM 2=y,求y与x的函数关系式,并求线段BM长的最小值;
(3)若AD=10,AB=a,DP=8,随着a的大小的变化,点M的位置也在变化,当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形 ∴∠ADP=∠ABC=∠BAD=90° ∵∠ABC+∠ABQ=180° ∴∠ABQ=∠ADP=90° ∵AQ⊥AP ∴∠PAQ=90° ∴∠QAB+∠BAP=90° 又∵∠PAD+∠BAP=90° ∴∠PAD=∠QAB 在△ADP与△ABQ中 ∵ ∴△ADP∽△ABQ (2)如图,作MN⊥QC,则∠QNM=∠QCD=90°] 又∵∠MQN=∠PQC ∴△MQN∽△PQC ∴ ∵点M是PQ的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴
∵△ADP∽△ABQ ∴ ∴ ∵ ∴ 在Rt△MBN中,由勾股定理得: 即: 当即时,线段BM长的最小值. (3)如图,当点PQ中点M落在AB上时,此时QB=BC=10 由△ADP∽△ABQ得解得: ∴随着a的大小的变化,点M的位置也在变化, 当点M落在矩形ABCD外部时,求a的取值范围为:a>12.5 |
科目:初中数学 来源: 题型:
A、a≥
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B、a≥b | ||
C、a≥
| ||
D、a≥2b |
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