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1.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”,例如点(-1,-1),(0,0),($\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$),…都是“梦之点”.
(1)若点P(2,m)是“梦之点”,则点P关于原点的对称点是(-2,-2);
(2)已知关于t的方程at2+(b-1)t+1=0的两根分别为$\sqrt{3}$,$\frac{1}{3}$,若二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”,则“梦之点”是($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$)和($\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$).

分析 (1)先由“梦之点”的定义得出m=2,再根据中心对称的性质求得即可;
(2)函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在“梦之点”(x,x),则有x=ax2+bx+1,整理得ax2+(b-1)x+1=0,再根据关于t的方程at2+(b-1)t+1=0的两根分别为$\sqrt{3}$,$\frac{1}{3}$,得出x1=$\sqrt{3}$,x2=$\frac{1}{3}$,即可求得“梦之点”.

解答 解:(1)点P(2,m)是“梦之点”,
∴m=2,
∴P(2,2),
∴点P关于原点的对称点(-2,-2),
故答案为(-2,-2).
(2)∵二次函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a>0)的图象上存在两个不同的“梦之点”,
∴令y=x,
则x=ax2+bx+1,
整理得,ax2+(b-1)x+1=0,
∵关于t的方程at2+(b-1)t+1=0的两根分别为$\sqrt{3}$,$\frac{1}{3}$,
∴x1=$\sqrt{3}$,x2=$\frac{1}{3}$;
∴“梦之点”是($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$)和($\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$).
故答案为($\sqrt{3}$,$\sqrt{3}$)和($\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3}$).

点评 本题是二次函数的综合题,考查了中心对称的性质,“梦之点”的概念,横坐标与纵坐标相等是解题的关键.

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