Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．

（1）求证：DE=BC；

（2）若四边形ODEC是正方形，试判断△ABC的形状，并说明理由．

Answer 1

【答案】见解析

【解析】分析：（1）连接DO，先可证明EC为⊙O的切线，然后依据切线长定理可得到DE=EC，然后再证明∠1=∠B，从而得到EB=ED，从而可证明DE=BC．

（2）由四边形ODEC为正方形，可得到DE=OC=EC=OD，从而可得到AC=2OC，BC=2EC，从而得到BC=AC，故此可证明△ABC是等腰直角三角形．

详解：（1）证明：连接DO，

∵∠ACB=90°，AC为直径，

∴EC为⊙O的切线．

又∵ED也为⊙O的切线，

∴EC=ED．

又∵∠EDO=90°

∴∠1+∠2=90°

∴∠1+∠A=90°．

又∵∠B+∠A=90°，

∴∠1=∠B，

∴EB=ED，

∴DE=BC．

（2）△ABC是等腰直角三角形．

理由：∵四边形ODEC为正方形，

∴OD=DE=CE=OC，∠DOC=∠ACB=90°．

∵DE=BC，AC=2OC，

∴BC=AC，

∴△ABC是等腰直角三角形．