Question

如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC至点D，使CD=AC，连接AD交⊙O与点E，连接BE、CE，BE交AC于点F．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）若AE=6，DE=9，求EF的长．

Answer 1

分析：（1）首先证明∠AEB=∠ACB=∠ABC=∠CED，证得△ABE≌△CDE．
（2）证明△AEF∽△DEC，推出

AE

DE

=

EF

EC

即可求得EF的长．

解答：（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，
∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，
又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，
∴∠CED=∠ACB，
又∠AEB和∠ACB都为

AB

所对的圆周角，
∴∠AEB=∠ACB，
∴∠CED=∠AEB，
∵AB=AC，CD=AC，
∴AB=CD，
在△ABE和△CDE中，

∠BAE=∠DCE ∠AEB=∠CED AB=CD

，
∴△ABE≌△CDE（AAS）．

（2）解：∵△ABE≌△CDE，
∴AE=EC=6，ED=BE=9，
即

AE

DE

=

EC

BE

，且∠AEB=∠CED，
∴△AEF∽△DEC，
∴

AE

DE

=

EF

EC

．
∴EF=

AE•EC

DE

=4．

点评：本题综合考查了垂径定理、圆周角定理的运用相似三角形的判定和应用．