Question

2．如图1，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，AC的垂直平分线EF分别与AD、AC、BC交于点E，O，F．
（1）求证：四边形AECF是菱形．
（2）如图2，动点P，Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周，即点P自A→F→B→A停止运动，点Q自C→D→E→C停止运动．已知点P速度是每秒5cm，点Q的速度是每秒4cm．
①当以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，则点P的运动时间t=$\frac{4}{3}$秒．
②当以A、C、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，设点P、Q的运动路程分别为a，b．（单位：cm，ab≠0），则a+b=12cm．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，证明△AOE≌△COF，得出OE=OF，证出四边形AFCE为平行四边形，由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE为菱形；
（2）①根据题意得出方程，解方程即可得出结果；
②分三种情况：（i）当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，得出a+b=12；
（ii）当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，得出a+b=12；
（iii）当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，得出a+b=12．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACB，∠AEF=∠CFE，
∵EF垂直平分AC，垂足为O，
∴OA=OC，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAE=∠OCF}\\{AO=OC}\\{∠AOE=∠COF=90°}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（SAS），
∴OE=OF，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE为菱形；
（2）解：①如图1所示：
当P点在AF上时，Q点在CD上，此时A、C、P、Q四点不可能构成平行四边形，
同理P点在AB上时，Q点在DE或CE上，也不能构成平行四边形，
因此只有当P点在BF上、Q点在ED上时，才能构成平行四边形，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC=QA，
∵点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，
∴PC=5t，QA=12-4t，
∴5t=12-4t，
解得：t=$\frac{4}{3}$，
∴以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=$\frac{4}{3}$秒；
故答案为：$\frac{4}{3}$；
②由题意得，以A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，点P、Q在互相平行的对应边上．
分三种情况：
（i）如图2所示，当P点在AF上、Q点在CE上时，AP=CQ，
即a=12-b，
∴a+b=12（cm）；
（ii）如图3所示，当P点在BF上、Q点在DE上时，AQ=CP，
即12-b=a，
∴a+b=12（cm）；
（iii）如图4所示，当P点在AB上、Q点在CD上时，AP=CQ，
即12-a=b，
∴a+b=12（cm）；
综上所述，a+b=12（cm）；
故答案为：12．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论，画出图形，运用平行四边形的性质才能得出结果．