Question

【题目】如图，点O为矩形ABCD对角线BD的中点，直线EF经过点O分别与边BC，AD交于点E， F，连接CF，若∠CEF=2∠CBD，∠CBD =30°，DC=，有下面的结论：①FD=BE；②∠EOD=150°；③BE2+AB2=AF2；④BC=6；⑤直线FC是线段OD的垂直平分线.其中正确的个数为(　 )个.

A. 2B. 3C. 4D. 5

Answer 1

【答案】D

【解析】

根据矩形的性质易证△BOE≌△DOF，可得FD=BE，所以①正确；由∠CEF=∠CBO +∠BOE=2∠CBD，求出∠CBO =∠BOE=30°，可得∠EOD=150°，所以②正确；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AECF是平行四边形，根据矩形的性质结合∠CBD =30°证明△OCD为等边三角形，求出∠EOC=90°可得平行四边形AECF是菱形，得到AE=AF，由勾股定理可得BE2+AB2=AF2，所以③正确；根据含30°直角三角形的性质可求出BC=6，故④正确；根据等角对等边得到FO=FD，根据等边三角形的性质得到CO=CD，可得直线FC是线段OD的垂直平分线，所以⑤正确.

解：∵AD∥BC，

∴∠FDO =∠EBO，

又∵∠FOD =∠EOB，OB=OD，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴FD=BE，故①正确；

∵∠CEF=∠CBO +∠BOE=2∠CBD，

∴∠CBO =∠BOE=30°，

∴∠EOD=180°-30°=150°，故②正确；

连结AE，AC，

∵FD=BE，

∴AF=EC，

∵AD∥BC，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵∠CBD =30°，

∴∠BDC=60°，

∵OC=OD，

∴△OCD为等边三角形，

∴∠OCD=60°，

∴∠OCE=30°，

∵∠CEF=2∠CBD=60°，

∴∠EOC=90°，即AC⊥EF，

∴平行四边形AECF是菱形，

∴AE=AF，

∵BE2+AB2=AE2，

∴BE2+AB2=AF2，故③正确；

∵∠CBD =30°，DC=，∠BCD=90°，

∴BC=DC=6，故④正确；

∵△BOE≌△DOF，

∴∠CBO =∠BOE=∠FDO =∠FOD，

∴FO=FD，

∵△OCD为等边三角形，

∴CO=CD，

∴直线FC是线段OD的垂直平分线，故⑤正确，

正确的有5个，

故选：D.