Question

11．已知菱形ABCD，AB=4，∠B=60°，以点D为圆心作⊙D与直线AB相切于点G，连接DG．
（1）求证：⊙D与BC所在的直线也相切；
（2）若⊙D与CD相交于E，过E作EF⊥AD于H，交⊙D于F，求EF的长．

Answer 1

分析 （1）作DK⊥BC于K，如图，根据切线的性质得DG⊥AB，再根据菱形的性质得BD平分∠ADC，则根据角平分线的性质得DG=DK，然后根据切线的判断定理即可得到⊙D与边BC也相切；
（2）根据菱形的性质和垂径定理解答即可．

解答 （1）（1）证明：作DK⊥BC于K，连结BD，如图，
∵AB与⊙D相切于点G，
∴DG⊥AB，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ADC，
而DG⊥AB，DK⊥BC，
∴DG=DK，
即DK为⊙D的半径
∴⊙D与边BC也相切．

（2）解：∵在菱形四边形中，CD=AB=4，CD∥AB，
∴∠DCK=∠ABC=60°．
又∵∠DKC=90°，
∴DK=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CD=2$\sqrt{3}$，
∴DE=DK=2$\sqrt{3}$．
又∵∠ADC=∠ABC=60°，EF⊥AD，
∴EH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DE=3，
∴EF=2EH=6．

点评 本题主要考查了菱形的性质，切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，作出恰当的辅助线是解答此题的关键．