Question

4．如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE，△ADE沿DE折叠后得到△FDE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交于BC于点G．
（1）求证：FG=BG；
（2）若AB=6，BC=4，求DG的长．

Answer 1

分析 （1）连接EG，根据矩形的性质得到∠A=∠B=90°，根据折叠的性质得到AE=EF，∠DFE=∠A=90°，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得到DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，根据全等三角形的性质得到∠FEG=∠BEG，得到∠DEF+∠FEG=90°，根据射影定理即可得到结论．

解答 解：（1）连接EG，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，
∵△ADE沿DE折叠后得到△FDE，
∴AE=EF，∠DFE=∠A=90°，
∴∠GFE=∠B，
∵E是边AB的中点，
∴AE=BE，
∴EF=EB，
在Rt△EFG与Rt△EBG中，$\left\{\begin{array}{l}{EF=EB}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFG≌Rt△EBG；
∴FG=BG；

（2）∵AB=6，BC=4，△ADE沿DE折叠后得到△FDE，
∴DF=DA=4，EF=AE=3，∠AED=∠FED，
∵Rt△EFG≌Rt△EBG，
∴∠FEG=∠BEG，
∴∠DEF+∠FEG=90°，
∵EF⊥DG，
∴EF²=DF•FG，
∴FG=$\frac{9}{4}$，
∴DG=FG+DF=$\frac{25}{4}$．

点评 本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，射影定理，矩形的性质，解题的关键是利用折叠图形的角相等，边相等求解．