Question

如图，在平面直角坐标系中，以点A（3，0）为圆心，以5为半径的圆与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点D、E．
（1）若抛物线y=

1

4

x2+bx+c经过C、D两点，求此抛物线的解析式并判断点B是否在此抛物线上．
（2）若在（1）中的抛物线的对称轴有一点P，使得△PBD的周长最短，求点P的坐标．
（3）若点M为（1）中抛物线上一点，点N为其对称轴上一点，是否存在以点B、C、M、N为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点M、N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）据圆的圆心坐标A（3，0），以及圆的半径，可求出C点的坐标C（8，0），B点的坐标B（-2，0），然后由勾股定理，求出D点的坐标（0，-4），将C，D坐标代入抛物线的解析式中，即可求得抛物线的解析式．将B点代入，即可判断是否在抛物线上．
（2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小即可；
（3）此题要分两种情况讨论：①以BC角线的平行四边形，此时MD∥x轴，则M、D的纵坐标相同，由此可求得M点的坐标；
②以BC的平行四边，由于平行四边形是中心对称图形，可求得△ADM≌△ADN，即M、N纵坐标的绝对值相等

解答：解：（1）由已知，得B（-2，0）C（8，0），D（0，-4）
将C、D两点代入得：

1 4 ×82+8b+c=0 c=-4

，
解得b=-

3

2

，c=-4，
∴抛物线的解析式为y=

1

4

x2-

3

2

x-4
∵

1

4

(-2)2-

3

2

×(-2)-4=0，
∴点B在这条抛物线上．

（2）要使△PBD的周长最短，由于边BD是定值，只需PB+PD最小，
∵点B、C关于对称轴x=3对称，
∴直线CD与对称轴x=3的交点就是所求的点P．
设直线CD的解析式为y=kx+m．将C、D两点代入，得

8k+m=0 m=-4

，
解得k=

1

2

，m=-4，
∴直线CD的解析式为y=

1

2

x-4当x=3时，y=-

5

2

，
∴点P的坐标为（3，-2.5）．

（3）存在．
M（-7，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（13，

75

4

），N（3，

75

4

）或M（3，-

25

4

），N（3，

25

4

）

点评：主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，需注意的是（3）题在不确定平行四边形边和对角线的情况下需要分类讨论，以免漏解．