已知等腰三角形ABC的两个顶点分别是A(0,1)、B(0,3),第三个顶点C在x轴的正半轴上.关于y轴对称的抛物线y=ax2+bx+c经过A、D(3,-2)、P三点,且点P关于直线AC的对称点在x轴上.
(1)求直线BC的解析式;
(2)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式及点P的坐标;
(3)设M是y轴上的一个动点,求PM+CM的取值范围.
解:(1)∵A(0,1),B(0,3),∴AB=2.
∵△ABC是等腰三角形,且点C在轴的正半轴上,
∴AC=AB=2.∴OC=.∴C(,0).
设直线BC的解析式为,∴.
∴直线BC的解析式为.
(2)∵抛物线关于轴对称,∴b=0.
又抛物线经过A(0,1),D(3,一2)两点.
∴,解得,∴抛物线的解析式是.
在Rt △AOC中,OA=1,AC=2,易得∠ACD=30°.
在Rt△BOC中,OB=3,OC=,易得∠BCO=60°.
∴CA是∠BCO的角平分线.∴直线BC与轴关于直线AC对称.
点P关于直线AC的对称点在轴上,
则符合条件的点P就是直线BC与抛物线的交点.
∵点P在直线BC:上,故设点P的坐标是(,一+3).
又点P(,一+3)在抛物线上.
∴一+3=,解得1=,2=2。
故所求点P的坐标是P1(,0),P2(2,一3).
(3)要求PM+CM的取值范围,可先求PM+CM的最小值.
I)当点P的坐标是(,0)时,点P与点C重合,故PM+CM=2CM.
显然CM的最小值就是点C到轴的距离为.∵点M是轴上的动点,
∴PM+CM无最大值,∴PM+CM≥2
Ⅱ)当点P的坐标是(2,一3)时,由点C关于轴的对称点C’(一,0),
故只要求PM+MC’的最小值,显然线段PC’最短,易求得PC’=6.
∴PM+CM的最小值是6.同理PM+CM没有最大值,
∴PM+CM的取值范围是PM+CM≥6.
综上所述,当点P的坐标是(,0)时,PM+CM≥2,
当点P的坐标是(2,一3)时,PM+CM≥6.
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